Ecuación de calor transitorio en un tubo (coordenadas polares) con temperatura inicial uniforme y temperatura límite uniforme

Question

Ecuación de calor transitorio en un tubo (coordenadas polares) con temperatura inicial uniforme y temperatura límite uniforme

Física
termodinámica
conduccion de calor
condiciones de borde
deberes-y-ejercicios

Fefetltl

Traté de resolver este problema:

tengo un tubo de radio interior y exterior $R_1$ y $R_2$ (como tubo de cobre para frigoríficos). La temperatura en el exterior del tubo ( $\rho = R_2$ ) se mantiene a $T_e$ . denotamos $T_1$ la temperatura dentro del tubo y $T_2$ la temperatura entre $R_1$ y $R_2$ . Los coeficientes de difusividad del material son $k_1$ (como el fluido dentro del tubo) y $k_2$ (coeficiente de cobre). $T_e$ fuera del tubo" />

Entonces las ecuaciones de calor son:

[k_{i} \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial}{\partial ρ}) - \frac{\partial}{\partial t}] T_{i} = 0

$\left[ k_i \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial}{\partial \rho} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \right] T_i = 0$

entonces las condiciones de contorno son:

T_{1} (R_{1}, t) = T_{2} (R_{1}, t)

$T_1(R_1,t) = T_2(R_1,t)$

{yo}_{1} \frac{\partial}{\partial ρ} T_{1} (ρ = R_{1}, t) = {yo}_{2} \frac{\partial}{\partial ρ} T_{2} (ρ = R_{1}, t)

$l_1 \frac{\partial}{\partial \rho} T_1(\rho = R_1,t) = l_2 \frac{\partial}{\partial \rho} T_2(\rho = R_1,t)$

T_{2} (R_{2}, t) = T_{mi}

$T_2(R_2,t) = T_e$

con $l_i$ la conductividad térmica, y la condición inicial es:

T_{1} (ρ, 0) = T_{2} (ρ, 0) = T_{0}

$T_1(\rho,0) = T_2(\rho,0) = T_0$

Por separación de variables encontramos soluciones generales:

T_{1} = A + \sum_{norte = 1} a_{norte} {mi}^{- λ_{norte} t} j_{0} (\sqrt{λ_{norte} / k_{1}} ρ)

$T_1 = A + \sum_{n = 1} a_n e^{- \lambda_n t} J_0 \left( \sqrt{\lambda_n/k_1} \rho \right)$

T_{2} = B + \sum_{norte = 1} b_{norte} {mi}^{- m_{norte} t} j_{0} (\sqrt{m_{norte} / k_{2}} ρ) + C_{norte} {mi}^{- v_{norte} t} Y_{0} (\sqrt{v_{norte} / k_{2}} ρ)

$T_2 = B + \sum_{n = 1} b_n e^{- \mu_n t} J_0 \left( \sqrt{\mu_n/k_2} \rho \right) + c_n e^{- \nu_n t} Y_0 \left( \sqrt{\nu_n/k_2} \rho \right)$

como $t \rightarrow + \infty$ se alcanza el estado estacionario por lo que lógicamente tenemos: $A = B = T_e$ pero tengo dificultades para encontrar los valores propios $\lambda_n$ , $\mu_n$ y $\nu_n$ y los coeficientes de la serie. ¿Alguien sabe la solución de este problema?

Lo que yo sé

Para un caso más simple, un disco de radio $R$ , con temperatura inicial dentro del disco $T_0$ y temperatura límite $T(R,t) = T_e$ encontramos la solución:

T (ρ, t) = T_{mi} + \sum_{norte = 1}^{+ \infty} a_{norte} j_{0} (\sqrt{λ_{norte} / k_{1}} ρ) {mi}^{- λ_{norte} t}

$T(\rho,t) = T_e + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n J_0 \left( \sqrt{\lambda_n/k_1} \rho \right) e^{- \lambda_n t}$

con el $\lambda_n$ resolver (vinculado a los ceros de $J_0$ función de Bessel):

j_{0} (\sqrt{λ_{norte} / k_{1}} R) = 0

$J_0 \left( \sqrt{\lambda_n/k_1} R \right) = 0$

y coeficientes $a_n$ son (usando producto escalar ponderado):

a_{norte} = (T_{0} - T_{mi}) \frac{\int_{0}^{R_{1}} ρ j_{0} (\sqrt{λ_{norte} / k_{1}} ρ) d ρ}{\int_{0}^{R_{1}} ρ j_{0}^{2} (\sqrt{λ_{norte} / k_{1}} ρ) d ρ}

$a_n = (T_0 - T_e) \frac{ \int_{0}^{R_1} \rho J_0 \left( \sqrt{\lambda_n/k_1} \rho \right) d \rho}{ \int_{0}^{R_1} \rho J_0^2 \left( \sqrt{\lambda_n/k_1} \rho \right) d \rho }$

Fefetltl

Tengo una idea, usando el 3 BC y asumiendo

ν_{n} = λ_{n} = μ_{n}

$\nu_n = \lambda_n = \mu_n$ para deshacerme de los términos de tiempo exponencial, encontré una ecuación determinante en

λ_{n}

$\lambda_n$ que da el

λ_{n}

$\lambda_n$ (que implica, por supuesto, cálculos numéricos). Para tener la temperatura adentro,

T_{1}

$T_1$ (entonces los coeficientes

a_{n}

$a_n$ ), puedo integrar en el radio

R_{n}

$R_n$ , que corresponden a

J_{0} (R_{n} \sqrt{(} λ_{n} / k_{1})) = 0

$J_0(R_n \sqrt(\lambda_n/k_1)) = 0$ y me deshago de la suma infinita debido a la ortogonalidad. ¿Qué piensan ustedes, amigos?

Respuestas (1)

Ecuación de calor transitorio en un tubo (coordenadas polares) con temperatura inicial uniforme y temperatura límite uniforme

Tengo una idea, usando el 3 BC y asumiendo $\nu_n = \lambda_n = \mu_n$ para deshacerme de los términos de tiempo exponencial, encontré una ecuación determinante en $\lambda_n$ que da el $\lambda_n$ (que implica, por supuesto, cálculos numéricos). Para tener la temperatura adentro, $T_1$ (entonces los coeficientes $a_n$ ), puedo integrar en el radio $R_n$ , que corresponden a $J_0(R_n \sqrt(\lambda_n/k_1)) = 0$ y me deshago de la suma infinita debido a la ortogonalidad. ¿Qué piensan ustedes, amigos?

Fefetltl · Answer 1

Finalmente lo encontré usando este papel (complicado):

http://verl.npre.illinois.edu/Documentos/J-08-01.pdf

Como dije en el comentario, necesitamos aplicar BC y encontramos una matriz igual a cero con coeficientes, lo que da una ecuación determinante cero, capaz de encontrar el $\lambda_n$ valores propios.

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