Ley de enfriamiento de Newton para la condición de frontera de la ecuación del calor

Question

Ley de enfriamiento de Newton para la condición de frontera de la ecuación del calor

Curiosidad

La ley de enfriamiento de Newton dice que la temperatura de un objeto satisface

\begin{matrix} (1) & \frac{d T}{d t} = - k (T (t) - T_{0}), \end{matrix}

$\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_0),\tag{1}$

donde $T_0$ es la temperatura ambiente. Consulte estas notas HTML, por ejemplo.

Ahora si $u(x,t)$ denota la temperatura de una barra aislada lateralmente en un punto $x$ y tiempo $t$ , entonces la ecuación del calor dice

\frac{\partial tu}{\partial t} = α \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}}

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Si el extremo izquierdo $x = 0$ se expone a un ambiente a temperatura $T_0$ , todos los libros de física matemática dicen que la ley de enfriamiento de Newton es

\begin{matrix} (2) & - C \frac{\partial tu}{\partial X} (0, t) = - k (tu (0, t) - T_{0}), \end{matrix}

$-c \frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = -k( u(0,t) - T_0), \tag{2}$

donde $c$ es una constante Consulte el Problema 5 en esta vista previa del libro de Google de Problemas de valor límite: y Ecuaciones diferenciales parciales de David Powers . Véase también la página 131 del mismo libro. (Tres páginas antes del problema 5, donde aparece por primera vez la ley de enfriamiento de Newton).

Sin embargo, de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton (1), obtenemos

\frac{\partial tu}{\partial t} (0, t) = - k (tu (0, t) - T_{0}),

$\frac{\partial u}{\partial t}(0,t) = -k( u(0,t) - T_0),$

Por la ecuación del calor, $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ , concluimos que

\begin{matrix} (3) & α \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} (0, t) = - k (tu (0, t) - T_{0}) . \end{matrix}

$\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(0,t) = -k( u(0,t) - T_0).\tag{3}$

Esta condición de contorno no es la misma que (2). ¿Por qué (3) no es correcto?

amey joshi

A diferencia de su ecuación (2), su ecuación (3) no es una condición límite.

Curiosidad

@AmeyJoshi ¿Por qué? Por definición, una "condición de contorno" es una condición en el contorno requerido de la función. Según esta definición, (3) es ciertamente una "condición de contorno".

usuario3823992

Parte del problema aquí es su fuente para (1). No está mal per se, pero utiliza un modelo de transferencia de calor muy simplificado. En ese caso,

k

$k$ no se usa conductividad en (2), es más como el coeficiente de transferencia de calor,

c

$c$ . Está tratando el objeto como agrupado (temperatura constante) en lugar de resolver la transferencia de calor dentro de él, como lo hacen las ecuaciones posteriores que ha utilizado. Por eso también han usado la notación para ODE (

d / d t

$d/dt$ ) en lugar de PDE (

\partial / \partial t

$\partial/\partial t$ ).

Ilja

@ user3823992, debería elaborar esto un poco en una respuesta; será más preciso que la respuesta existente, creo.

Respuestas (1)

Ley de enfriamiento de Newton para la condición de frontera de la ecuación del calor

A diferencia de su ecuación (2), su ecuación (3) no es una condición límite.
@AmeyJoshi ¿Por qué? Por definición, una "condición de contorno" es una condición en el contorno requerido de la función. Según esta definición, (3) es ciertamente una "condición de contorno".
Parte del problema aquí es su fuente para (1). No está mal per se, pero utiliza un modelo de transferencia de calor muy simplificado. En ese caso, $k$ no se usa conductividad en (2), es más como el coeficiente de transferencia de calor, $c$ . Está tratando el objeto como agrupado (temperatura constante) en lugar de resolver la transferencia de calor dentro de él, como lo hacen las ecuaciones posteriores que ha utilizado. Por eso también han usado la notación para ODE ( $d/dt$ ) en lugar de PDE ( $\partial/\partial t$ ).
@ user3823992, debería elaborar esto un poco en una respuesta; será más preciso que la respuesta existente, creo.

AV23 · Answer 1

La ley de enfriamiento de Newton en realidad proviene de la ecuación más general para el calor $Q$ transferida entre un sistema (temperatura $T$ ) y su entorno (temperatura $T_0$ ):

\frac{d q}{d t} = - h A (T - T_{0})

$\frac{dQ}{dt} = -hA(T-T_0)$ donde

A

$A$ es el área a través de la cual se produce la transferencia de calor (ver, por ejemplo, aquí ). Para un objeto macroscópico ordinario, donde

d Q = m c d T

$dQ = mc\ dT$ , obtenemos la ley convencional de enfriamiento de Newton en términos de temperatura:

metro C \frac{d T}{d t} = - h A (T - T_{0})

$mc\frac{dT}{dt} = -hA(T-T_0)$ Sin embargo, para el caso de la barra conductora, de la ley de Fourier:

\frac{1}{A} \frac{d q}{d t} = - k \frac{\partial tu}{\partial X}

$\frac{1}{A}\frac{dQ}{dt} = -k\frac{\partial u}{\partial x}$ La condición de contorno es por lo tanto:

- k \frac{\partial tu (0, t)}{\partial X} = - h (tu (0, t) - T_{0})

$-k\frac{\partial u(0, t)}{\partial x} = -h(u(0, t) - T_0)$

Pero, esto todavía no responde "por qué" --- ¿por qué no puedes usar la fórmula? $dQ = mc dT$ para el caso de la barra para concluir la ecuación (3)? Es decir, suponga que no conoce la ley de Fourier. ¿Qué le impediría usar la fórmula? $dQ = mc dT$ para deducir la fórmula $\partial u/\partial t (0,t) = -k(u(0,t) - T_0)$ ? ¿No creerías que esta fórmula es válida si no te dijeran que usaras la ley de Fourier en su lugar?
En el límite, hay un calor entrante (por conducción) $Q_1$ y la transferencia de calor al entorno $Q_2$ por unidad de tiempo. Al considerar un segmento de longitud $dx$ en el límite, vemos que el calor neto que ingresa a la región es de hecho $dQ = Q_1 - Q_2 = Q(dx) - Q(0)$ . Es esto lo que contribuye al cambio de temperatura, no solo la pérdida de calor hacia el entorno. Este cambio está dado por $\frac{\partial Q}{\partial x}dx$ tiempo $dQ = mc\dot{T} = \rho Ac dx \dot{T}$ . Así, obtenemos $\dot{T} = \frac{1}{\rho Ac} \frac{\partial Q}{\partial x}$ . Por lo tanto, es equivalente a la ecuación del calor...
...con la pieza faltante de lo que $Q$ en realidad está dada por la ley de Fourier.

Ley de enfriamiento de Newton para la condición de frontera de la ecuación del calor

Curiosidad

amey joshi

Curiosidad

usuario3823992

Ilja

Respuestas (1)

AV23

Curiosidad

AV23

AV23

Ecuación del calor... ¿con enfriamiento por Newton?

¿Cuál es la diferencia entre energía y temperatura en la teoría de campos?

¿Por qué 0K0K0 \,\mathrm{K} es tan especial?

¿A qué tasa una ropa mojada disminuye la temperatura de un cuerpo humano?

Cambio en la entropía del entorno termodinámico durante procesos isobáricos o isocóricos

¿Por qué el metal líquido no se vaporiza en el vacío?

Explicación del rocío helado

Con gases ideales, variando la cantidad de moles y teniendo un volumen constante, ¿cómo se comportan la temperatura y la presión?

Energía de la habitación. ley de los gases ideales

¿El aire caliente realmente sube?