Dudas sobre la variación de la acción Einstein-Maxwell-Dilaton

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Dudas sobre la variación de la acción Einstein-Maxwell-Dilaton

Física
electromagnetismo
relatividad general
cálculo variacional
principio variacional
deberes-y-ejercicios

usuario161157

Estoy trabajando a través de la variación de la acción de Einstein-Maxwell-Dilaton como se establece en The Rotating Dyonic Black Holes Of Kaluza-Klein Theory . Rasheed da la acción como

\begin{matrix} (1) & S = \int d^{4} X \sqrt{gramo} [R - 2 (\partial σ)^{2} - 2 {mi}^{2 b σ} F^{2}] \end{matrix}

$\begin{equation} S=\int\mathrm{d}^4x\sqrt{g}\left[R-2(\partial\sigma)^2-2e^{2b\sigma}F^2\right] \tag{1} \end{equation}$

dónde $b$ es una constante, $\sigma$ es el campo escalar de dilatón y $F^2\equiv F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ . variando $S$ , quiero recuperar las ecuaciones de movimiento como se indica en la ecuación (1.2) en el documento. Pude recuperar las ecuaciones relacionadas con $\delta\sigma$ y $\delta A_{\nu}$ . Sin embargo, no parece que pueda recuperar la ecuación de movimiento al variar con respecto a $g^{\mu\nu}$ es decir $\delta g^{\mu\nu}$ .

Rasheed da la ecuación de movimiento para $\delta g^{\mu\nu}$ como

\begin{matrix} (2) & R_{m v} = 2 (\partial_{m} σ) (\partial_{v} σ) + 2 {mi}^{2 b σ} T_{m v} \end{matrix}

$\begin{equation} R_{\mu\nu}=2(\partial_{\mu}\sigma)(\partial_{\nu}\sigma)+2e^{2b\sigma}T_{\mu\nu} \tag{2} \end{equation}$

donde creo que hubo un error tipográfico en el posicionamiento de los índices para el término derivado parcial, en el documento, y $(2)$ debe ser la versión correcta.

Pude encontrar el último término relacionado $T_{\mu\nu}$ . Sin embargo, para el término con las derivadas parciales, siempre tendré un término extra que involucre $(\partial\sigma)^2$ que surge de variar $\sqrt{g}$ .

mis calculos son los siguientes

\begin{aligned} - 2 d [\sqrt{- gramo} (\partial σ)^{2}] & = - 2 d [\sqrt{- gramo} {gramo}^{m α} \partial_{α} σ \partial_{m} σ] \\ = - 2 \partial_{α} σ \partial_{m} σ \sqrt{- gramo} (d {gramo}^{m α} - \frac{1}{2} {gramo}_{γ β} d {gramo}^{γ β} {gramo}^{m α}) \\ (3) & = - 2 \partial_{α} σ \partial_{m} σ \sqrt{- gramo} d {gramo}^{m α} + \partial_{α} σ \partial^{α} σ \sqrt{- gramo} {gramo}_{γ β} d {gramo}^{γ β} \end{aligned}

$\begin{align} -2\delta\left[\sqrt{-g}(\partial\sigma)^2\right]&=-2\delta\left[\sqrt{-g}g^{\mu\alpha}\partial_{\alpha}\sigma\partial_{\mu}\sigma\right]\\ &=-2\partial_{\alpha}\sigma\partial_{\mu}\sigma\sqrt{-g}\left(\delta g^{\mu\alpha}-\frac{1}{2}g_{\gamma\beta}\delta g^{\gamma\beta}g^{\mu\alpha}\right)\\ &=-2\partial_{\alpha}\sigma\partial_{\mu}\sigma\sqrt{-g}\delta g^{\mu\alpha}+\partial_{\alpha}\sigma\partial^{\alpha}\sigma\sqrt{-g}g_{\gamma\beta}\delta g^{\gamma\beta} \tag{3} \end{align}$

¿Cómo me deshago de la $(\partial\sigma)^2=\partial_{\alpha}\sigma\partial^{\alpha}\sigma$ ¿término? Además, es el lado izquierdo de $(2)$ se supone que es el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ en lugar de solo $R_{\mu\nu}$ ?

JG

Edite sus cálculos.

usuario161157

He incluido en mis cálculos, según lo solicitado.

KP99

¿Has probado con

σ R

$\sigma R$ en lugar de solo

R

$R$ en la acción?

Nadie

@Thomas eliminé la respuesta anterior, que aunque describía el procedimiento tenía algunos conceptos erróneos en los comentarios.

Respuestas (2)

Dudas sobre la variación de la acción Einstein-Maxwell-Dilaton

¿Has probado con $\sigma R$ en lugar de solo $R$ en la acción?
@Thomas eliminé la respuesta anterior, que aunque describía el procedimiento tenía algunos conceptos erróneos en los comentarios.

Nadie · Answer 1

La ecuación de Einstein en general dice:

R_{m v} - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} R = T_{m v}

$R_{\mu\nu} - \cfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$ rastreo (

d = 4

$d=4$ ) obtenemos

R = - T

$R=-T$ y reemplazando tenemos

R_{m v} = T_{m v} - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} T

$R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T$ dónde

T

$T$ denota la huella de

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ . Variando la acción (1) con respecto a la métrica, el primer término da el tensor de Einstein el segundo da

2 \partial_{m} σ \partial_{v} σ - {gramo}_{m v} \partial_{a} σ \partial^{a} σ

$2\partial_{\mu}\sigma\partial_{\nu}\sigma - g_{\mu\nu}\partial_{a}\sigma\partial^{a}\sigma$ mientras que el tercer término está relacionado con el tensor EM. De acuerdo con la notación del artículo, la ecuación de Einstein se leerá

R_{m v} - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} R = 2 \partial_{m} σ \partial_{v} σ - {gramo}_{m v} \partial_{a} σ \partial^{a} σ + 2 Exp (2 b σ) T_{m v}

$R_{\mu\nu} - \cfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 2\partial_{\mu}\sigma\partial_{\nu}\sigma - g_{\mu\nu}\partial_{a}\sigma\partial^{a}\sigma + 2\exp(2b\sigma)T_{\mu\nu}$

$T_{\mu\nu}$ no tiene rastro en $d=4$ . Rastreo que tenemos

R = 2 \partial^{a} σ \partial_{a} σ

$R = 2\partial^{a}\sigma\partial_{a}\sigma$

Reemplazando tenemos

R_{m v} - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} 2 \partial^{a} σ \partial_{a} σ = 2 \partial_{m} σ \partial_{v} σ - {gramo}_{m v} \partial_{a} σ \partial^{a} σ + 2 Exp (2 b σ) T_{m v}

$R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}2\partial^{a}\sigma\partial_{a}\sigma = 2\partial_{\mu}\sigma\partial_{\nu}\sigma - g_{\mu\nu}\partial_{a}\sigma\partial^{a}\sigma + 2\exp(2b\sigma)T_{\mu\nu}$

donde se cancelan los términos de la sumatoria y se obtiene la ecuación deseada.

Andrés · Answer 2

La respuesta de ApolloRa es acertada. Solo quería dar un enfoque ligeramente diferente que ilustra un truco que puede ser muy poderoso para depurar cálculos. (También hay un factor complicado de 2 que quiero señalar).

El truco es tratar de desacoplar la parte con la que tiene problemas del cálculo completo. En este caso, podemos notar que dado que su pregunta tiene que ver completamente con el sector escalar de gravedad, sin el campo de calibre, es una simplificación útil tomar el límite $b \rightarrow -\infty$ . Eso elimina completamente el campo vectorial. Entonces la acción es GR acoplada a un campo escalar sin masa (voy a mantener los factores explícitos de $\pi$ y la constante de newton $G_N$ que fueron descartados por Rasheed por el momento)

S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} (\frac{R}{dieciséis π {GRAMO}_{norte}} - 2 (\partial σ)^{2})

$\begin{equation} S = \int {\rm d}^4 x \sqrt{-g} \left(\frac{R}{16\pi G_N} - 2 (\partial \sigma)^2\right) \end{equation}$ Por resultados estándar podemos escribir inmediatamente las ecuaciones de movimiento

\begin{array}{rcl} R_{m v} - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} R & = & 8 π {GRAMO}_{norte} T_{m v}^{(σ)} \\ ◻ σ & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} g_{\mu\nu} R &=& 8\pi G_N T^{(\sigma)}_{\mu\nu}\\ \square \sigma &=& 0 \end{eqnarray}$ donde el tensor tensión-energía de un campo escalar sin masa viene dado por

T_{m v}^{(σ)} = 4 \partial_{m} σ \partial_{v} σ - 2 (\partial σ)^{2} {gramo}_{m v}

$\begin{equation} T^{(\sigma)}_{\mu\nu} = 4 \partial_\mu \sigma \partial_\nu \sigma - 2 (\partial \sigma)^2 g_{\mu\nu} \end{equation}$ dónde

(\partial σ)^{2} = \partial_{μ} σ \partial^{μ} σ

$(\partial \sigma)^2=\partial_\mu \sigma \partial^\mu \sigma$ (para comparar con las convenciones de wikipedia, tenga en cuenta que podemos reemplazar

ℏ^{2} / m

$\hbar^2/m$ en su notación con

2

$2$ ). Tenga en cuenta que la traza está dada por

T^{(σ)} = - 4 (\partial σ)^{2}

$\begin{equation} T^{(\sigma)} = - 4 (\partial \sigma)^2 \end{equation}$

Siguiendo los mismos pasos en la respuesta de Apollo Ra (reescribiendo las ecuaciones de Einstein como $R_{\mu\nu}=8\pi G_N \left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2} T g_{\mu\nu} \right)$ y reemplazando las expresiones para $T_{\mu\nu}$ y $T$ ), llegamos a

R_{m v} = 32 π {GRAMO}_{norte} \partial_{m} σ \partial_{v} σ

$\begin{equation} R_{\mu\nu} = 32 \pi G_N \partial_\mu \sigma \partial_\nu \sigma \end{equation}$ Ahora el paso final es notar que Rasheed ha elegido unidades donde

16 π G_{N} = 1

$16\pi G_N=1$ (Este es un factor un poco complicado de 2 ya que es más estándar establecer

8 π G_{N} = 1

$8\pi G_N=1$ , que da las ecuaciones de Einstein

G_{μ ν} = T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}$ en lugar de Rashid

G_{μ ν} = \frac{1}{2} T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}=\frac{1}{2} T_{\mu\nu}$ ). Usando este hecho, tenemos el resultado deseado.

R_{m v} = 2 \partial_{m} σ \partial_{v} σ

$\begin{equation} R_{\mu\nu} = 2 \partial_\mu \sigma \partial_\nu \sigma \end{equation}$ Ahora que el sector escalar está funcionando, es fácil volver atrás y hacer

b

$b$ finito con sus resultados del sector vectorial.

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usuario161157

JG

usuario161157

KP99

Nadie

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Nadie

Andrés

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