Derivación del tensor de tensión de energía del electromagnetismo en GR [cerrado]

Parece que hay dos errores.

1. Sus definiciones de los tensores de energía-estrés son inconsistentes. Consideremos que su segunda definición es la correcta, que escribo como$\delta\left(L(-g)^{1/2}\right)=T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$. A partir de esta definición también podemos averiguar qué$T^{\mu\nu}$esta usando$T_{\mu\nu}=T^{\rho\sigma}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}$. Reemplazando esto en su segunda definición de los rendimientos del tensor de energía-estrés

   $$\delta\left(L(-g)^{1/2}\right)=T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=T^{\rho\sigma}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\mu\nu}.$$ Ahora puedes usar la identidad$g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\mu\nu}=-\delta g_{\rho\sigma}$. Probablemente esté al tanto de esto, ya que también escribió que$\delta(-g)^{1/2}=\frac{1}{2}(-g)^{1/2}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}(-g)^{1/2}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$y la diferencia del signo menos proviene de esta identidad. De todos modos, usar esto da como resultado $$\delta\left(L(-g)^{1/2}\right)=T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=-T^{\rho\sigma}\delta g_{\rho\sigma}$$ y por lo tanto $$T^{\mu\nu}=-\frac{\delta (L(-g)^{1/2})}{\delta g_{\mu\nu}}.$$ Entonces, asumiendo su segunda definición, su primera definición del tensor de tensión-energía está errada por un signo menos.

2. Debido al punto anterior, obtienes un signo menos general adicional en tu primera derivación. La comparación de los dos resultados revela que hay una inconsistencia de signos en el segundo término, que proviene de la variación de$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$. Probablemente, en tu segunda derivación escribiste

   $$\delta(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})=\delta\left(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}\right)=F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}(\delta g^{\rho\mu}g^{\sigma\nu}+g^{\rho\mu}\delta g^{\sigma\nu}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)$$ y renombró índices después para obtener su resultado. Note que usted asume en el último paso que$\delta F_{\mu\nu}=0$al variar la métrica. Esto es correcto. En tu primera derivación probablemente usaste $$\delta(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})=\delta\left(F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}\right)=F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}(\delta g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}+g_{\rho\mu}\delta g_{\sigma\nu}).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (2)$$ Esto significa que en el último paso usaste eso$\delta F^{\mu\nu}=0$. Sin embargo, esto no es correcto. Recuerde que el tensor de campo electromagnético$F$es una forma 2 (se define como la derivada exterior de la forma 1, es decir,$F=dA$). Esto significa que dadas algunas coordenadas$x^\mu$, los componentes de$F$son dados por$F=F_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$. Si no entendiste eso, lo importante es que los componentes de$F$se definen con los índices hacia abajo ($F_{\mu\nu}$). No necesito un tensor métrico para esta definición, entonces$\delta F_{\mu\nu}=0$al variar la métrica. Sin embargo, para definir el tensor$F^{\mu\nu}$, con los índices hacia arriba, entonces necesito el tensor métrico:$F^{\mu\nu}\equiv g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}$. Por lo tanto$\delta F^{\mu\nu}\neq 0$al variar wrt la métrica! Este es probablemente su error en su primera derivación.

Por lo tanto, para corregir su error en su primera derivación, simplemente no debe usar la ecuación.$(2)$arriba (ya que es incorrecto), sino simplemente use Eq.$(1)$arriba, y luego usa la identidad$g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\mu\nu}=-\delta g_{\rho\sigma}$una vez más para obtener el otro signo menos que necesita.