¿Dos formas de formar singletes SU(2)SU(2)SU(2)?

Question

¿Dos formas de formar singletes SU(2)SU(2)SU(2)?

Física
espinores
invariantes
teoría de grupos
números complejos
teoría de la representación

Hiren Patel

Estoy tratando de reconciliar las dos formas de formar $SU(2)$ singletes de un par de dobletes.

Método (1) : Si $v=\begin{pmatrix}v^1\\ v^2\end{pmatrix}$ y $w=\begin{pmatrix}w^1\\ w^2\end{pmatrix}$ son dos $SU(2)$ dobletes, entonces puedo formar un singlete tomando la combinación antisimétrica:

(v \otimes w)_{camiseta} = ϵ_{i j} v^{i} w^{j} = v^{1} w^{2} - v^{2} w^{1}

$(v\otimes w)_\text{singlet}=\epsilon_{ij}v^iw^j=v^1w^2-v^2w^1$

Método (2) : usando los mismos objetos del método 1, puedo formar un singlete simplemente tomando la conjugada transpuesta de uno de ellos, digamos $v^*=\begin{pmatrix}v_1^*& v_2^*\end{pmatrix}$ , y contratándolos directamente:

(v \otimes w)_{camiseta} = (v^{*})_{i} w^{i} = v_{1}^{*} w^{1} + v_{2}^{*} w^{2} .

$(v\otimes w)_\text{singlet}=(v^*)_i w^i=v_1^*w^1+v_2^*w^2.$

Entonces, ¿son estas dos formas diferentes de formar singletes? ¿Hay alguna manera de entender esto desde un punto de vista más general, digamos $SU(3)$ ? Además, en la mecánica cuántica elemental, ¿por qué cuando formamos singletes de espín a partir de funciones de onda usando el método (1) y no usando el método (2)?

--

Como nota para mí y para los demás, $(v^*)_i$ y $\epsilon_{ij}v^j$ son dos objetos diferentes. Pero, ambos se transforman de la misma manera; es decir, como $\bar{\bf{2}}$ .

Respuestas (2)

¿Dos formas de formar singletes SU(2)SU(2)SU(2)?

Esteban Blake · Answer 1

Creo que surge la confusión porque el tensor métrico está oculto en $SU(2)$ , así que trabajaré en $SU(p,q)$ y luego especializarme en $SU(2)$ . Las repeticiones definitorias no equivalentes del grupo lineal general $GL(m,C)$ llevado a los cuatro espacios vectoriales $V_{m},\tilde{V}_{m}, V^{*}_{m}, \tilde{V}^{*}_{m}$ transforme los vectores de la siguiente manera.

v^{' a} = [D (gramo)]_{b}^{a} v^{b} v_{a}^{'} = [D ({gramo}^{- T})]_{a}^{b} v_{b} v_{\bar{a}}^{'} = [D ({gramo}^{*})]_{\bar{a}}^{\bar{b}} v_{\bar{b}} v^{' \bar{a}} = [D ({gramo}^{- †})]_{\bar{b}}^{\bar{a}} v^{\bar{b}}

$v'^{a}=\,[D(g)]^{a}_{\ \ b}v^{b}\\ v'_{a}=\,[D(g^{-T})]_{a}^{\ \ b}v_{b}\\ v'_{\bar{a}}=[D(g^{*})]_{\bar{a}}^{\ \ \bar{b}}v_{\bar{b}}\\ v'^{\bar{a}}=[D(g^{-\dagger})]^{\bar{a}}_{\ \ \bar{b}}v^{\bar{b}}$

S U (p, q)

$SU(p,q)$ con

p + q = m

$p+q=m$ se define como el subgrupo bajo el cual el tensor métrico hermitiano

I_{b}^{\bar{a}}

$I^{\bar{a}}_{\ \ b}$ se transforma trivialmente. El tensor métrico se puede utilizar para convertir índices ordinarios en índices barrados.

v^{\bar{a}} = I_{b}^{\bar{a}} v^{b}

$v^{\bar{a}}=I^{\bar{a}}_{\ \ b}v^{b}$ El tensor métrico es invariante bajo

S U (p, q)

$SU(p,q)$ por lo que conmuta con las matrices de grupo y, por lo tanto, el representante

D (g)

$D(g)$ es equivalente a la rep

D (g^{- †})

$D(g^{-\dagger})$ . Una cantidad física representada por estados

v^{a}

$v^{a}$ es el mismo tipo de cantidad física representada por los estados

v^{\bar{a}}

$v^{\bar{a}}$ .

Ahora especialízate para $m=2$ asi esta el grupo $SU(2)$ o $SU(1,1)$ . El tensor de Levi-Civita $\epsilon_{ab}$ se puede utilizar para cambiar los índices contravariantes en índices covariantes.

v_{a} = ϵ_{a b} v^{b}

$v_{a}=\epsilon_{ab}v^{b}$ El tensor de Levi-Civita también es invariante bajo el grupo y, por lo tanto, el representante

D (g^{- T})

$D(g^{-T})$ es equivalente a la rep

D (g)

$D(g)$ .

la camiseta $\epsilon_{ab}v^{a}w^{b}=v^{a}w_{a}$ . Estos son dos irreps 1-d equivalentes llevados a cabo $V_{2}\otimes V_{2}$ y $V_{2}\otimes\tilde{V}_{2}$ . Representan el mismo tipo de cantidad física: un estado de espín 0. Entonces, si uno tiene dos semiestados de espín $\psi^{a}$ y $\phi^{a}$ , el estado de espín cero es $\epsilon_{ab}\psi^{a}\phi^{b}$ o equivalente $\psi^{a}\phi_{a}$ . En la segunda forma se necesita un estado $\phi_{a}$ que es el mismo tipo de cantidad física (la mitad de un giro) que $\phi_{\bar{a}}$ . A $\phi_{\bar{a}}$ se transforma como $D(g^{*})$ entonces si uno tiene $\phi^{a}$ entonces la forma natural de conseguir algo transformador como $D(g^{*})$ es usar $(\phi^{a})^{*}$ . De esta manera, un espín cero también es $\psi^{a}(\phi^{a})^{*}$ .

¡Esta respuesta junto con el resultado de @Qmechanic ha aclarado la confusión! Esta respuesta, en particular, es invaluable. ¿Sabrías dónde puedo encontrar información sobre la teoría de la representación de $GL(m,C)$ como mencionas en esta respuesta?
@QuantumDot: Aprendí esto del libro de Wu-Ki Tung "Teoría de grupos en física".

qmecanico · Answer 2

qmecanico

Los dos métodos de OP son isomorfos. En general, uno solo está interesado en clasificar representaciones módulo isomorfismo. El caso es que para el grupo de Lie $SU(2)$ , la representación del espinor ${\bf 2}$ y la representación del espinor conjugado complejo $\bar{\bf 2}$ son representaciones equivalentes ${\bf 2}\cong \bar{\bf 2}$ . La equivalencia se da precisamente al multiplicar con el símbolo épsilon.

En cambio, la representación ${\bf 3}$ y representación conjugada compleja $\bar{\bf 3}$ del grupo mentira $SU(3)$ no son equivalentes.

Hiren Patel

Solo para aclarar, tengo un espinor.

ψ

$\psi$ en representación

2

$\bf{2}$ . Entonces es

ψ^{*} = ϵ ψ

$\psi^*=\epsilon\psi$ una igualdad? o se entiende que esto significa que solo LHS y RHS se transforman de la misma manera ( es decir,

\bar{2}

$\bar{\bf 2}$ ).

qmecanico

Bueno, si la métrica para subir y bajar los índices de espinor es

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ , entonces puedes pasar de un objeto que se transforma como un espinor, a un objeto que se transforma como un espinor complejo conjugado, al multiplicar con el símbolo épsilon. Esto funciona para cualquier convención de signos de épsilon.

Hiren Patel

¡Oh, esto es algo nuevo! Pensé que la métrica necesariamente tenía que ser

ϵ

$\epsilon$ . Puedo elegir que sea

δ

$\delta$ ? De todos modos, ¿qué pasa si mi métrica para aumentar y disminuir los índices es de hecho

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ ; ¿Por qué entonces sería lo apropiado multiplicar? ¡Gracias!

qmecanico

Estrictamente hablando, el símbolo épsilon no es una métrica. Una métrica (real)

η_{i j}

$\eta_{ij}$ es por definición simétrico. Para el grupo Mentira

U (2)

$U(2)$ , la métrica es definida positiva. A

2 \times 2

$2\times 2$ matriz

U \in U (2)

$U\in U(2)$ satisface

U^{†} η U = η

$U^{\dagger}\eta U= \eta$ . Entonces, un cambio en la elección de la métrica cambia la posible elección del elemento del grupo.

U

$U$ . Cualquier persona en su sano juicio elegiría

η_{i j} = δ_{i j}

$\eta_{ij}=\delta_{ij}$ .

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