¿Cómo definir el operador de simetría especular para el modelo Kane-Mele?

Tomemos como punto de partida el famoso modelo Kane-Mele(KM) .

Debido a la inversión de tiempo (TR), rotación de 2 veces (o inversión de espacio 2D), rotación de 3 veces y simetrías de espejo del sistema de celosía de panal, podemos derivar el término intrínseco de órbita de giro (SO). Además, si aplicamos un campo eléctrico espacialmente uniforme perpendicular a la red 2D (ahora se rompe la simetría del espejo), surgirá un término SO (extra) de tipo Rashba.

Para presentar mi pregunta más claramente, primero daré una descripción más detallada de las operaciones de simetría anteriores en el formalismo de primera y segunda cuantización. A continuación, se ha establecido una coordenada cartesiana 3D donde la red 2D se encuentra en el$xoy$avión.

Lenguaje de primera cuantificación:

(1) Operador de simetría TR$\Theta:$ $\Theta\phi(x,y,z)\equiv \phi^*(x,y,z)$, de aquí en adelante,$\phi(x,y,z)$representa una función de onda arbitraria para un solo electrón.

(2) Operador de rotación doble$R_2:$ $R_2\phi(x,y,z)\equiv \phi(-x,-y,z)$, donde elegimos el punto medio del enlace del vecino más cercano como el punto de origen$o$de la coordenada

(3) Operador de rotación triple$R_3:$ $R_3\phi(\vec{r} )\equiv \phi(A\vec{r})$, dónde$A=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}{3}& -\sin\frac{2\pi}{3}& 0\\ \sin\frac{2\pi}{3}& \cos\frac{2\pi}{3} & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\vec{r}=(x,y,z)$y elegimos el sitio de la red como el punto de origen$o$de la coordenada

(4) Operador de simetría especular$\Pi:$ $\Pi\phi(x,y,z)\equiv \phi(x,y,-z)$.

Segundo lenguaje de cuantificación:

(1) Operador de simetría TR$T:$ $TC_{i\uparrow}T^{-1}=C_{i\downarrow}, TC_{i\downarrow}T^{-1}=-C_{i\uparrow}$, dónde$C=a,b$son los operadores de aniquilación referidos a las dos subredes del grafeno.

(2) Operador de rotación doble$P_2:$ $P_2a(x,y)P_2^{-1}\equiv b(-x,-y), P_2b(x,y)P_2^{-1}\equiv a(-x,-y)$,$P_2$es unitario y elegimos el punto medio del vínculo del vecino más cercano como el punto de origen$o$de la coordenada

(3) Operador de rotación triple$P_3:$ $P_3C(\vec{x})P_3^{-1}\equiv C(A\vec{x}), \vec{x}=(x,y),C=a,b$, dónde$A=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}{3}& -\sin\frac{2\pi}{3}\\ \sin\frac{2\pi}{3}& \cos\frac{2\pi}{3} \\ \end{pmatrix}$y$P_3$es unitario, elegimos el sitio de la red como el punto de origen$o$de la coordenada

(4) Operador de simetría especular$M:$????

como ven, eso es lo que les quiero preguntar: como definir el operador de simetria especular$M$ en términos de segundo lenguaje de cuantización para este sistema de celosía 2D? O tal vez no hay bien definido$M$para este modelo? Gracias de antemano.

Observaciones:

(1) Una forma directa de verificar su definición de$M$ser correcto o no es el siguiente: El término SO intrínseco$i\lambda\sum_{\ll ij \gg }v_{ij}C_i^\dagger\sigma_zC_j$debe ser invariante bajo$M$mientras que el término Rashba$i\lambda_R\sum_{<ij>}C_i^\dagger \left ( \mathbf{\sigma}\times\mathbf{p}_{ij}\right )_zC_j$no será.

(2) Aquí la operación del espejo es solo un reflejo en uno de los tres ejes espaciales (es decir,$(x,y,z)\rightarrow (x,y,-z)$), no la operación de "paridad" en el contexto de la "simetría CPT" en la teoría de campos.