Calibrar potenciales escalares invariantes

para un general$G$necesita conocer sus invariantes en la representación particular.

Para un grupo unitario$SU(n)$actuando sobre un$n$-vector$\Phi$, las únicas invariantes locales son funciones de$\Phi^*\Phi$.

En general, si solo busca interacciones cuadráticas locales, debe dividir el producto tensorial de la representación del campo consigo mismo en representaciones irreducibles y elegir una de las representaciones unidimensionales o una combinación de estas.

Quieres anotar lo más general$G$-polinomio invariante construido a partir de$\Phi$y/o$\Phi^*$. Todas las invariantes se pueden identificar tratando el producto de varios campos como un producto tensorial de representaciones, digamos$\Phi_{ij}\Phi^{*kl}\Phi_{mn}\Phi^{*op}$, y proyectando el componente singlete. Esto se hace contrayendo todos los índices con$G$- tensores invariantes . Por ejemplo, los únicos tensores invariantes (algebraicamente independientes) de$SU(N)$son$\delta^i_j$,$\epsilon_{ijk}$y$\epsilon^{ijk}$. Esto le dice inmediatamente que un invariante construido a partir de un solo campo tensor de rango 2 (ya sea simétrico o antisimétrico)$\Phi$es necesariamente una función de$t_n\equiv{\rm tr}(\Phi^\dagger\Phi)^n$,$\det\Phi$y$\det\Phi^\dagger$. Esto ya resuelve el problema de cómo anotar lo más general.$G$-función invariante. Sin embargo, el número de parámetros independientes en esta función se puede reducir al notar que los invariantes anteriores no son todos independientes. Desde$\Phi^\dagger\Phi$es una matriz semidefinida positiva hermítica, todas$t_n$depender solo de su$N$valores propios reales no negativos y, por tanto, sólo$t_n$con$n=1,...,N$son independientes Se pueden obtener de la función generadora

$$f(z)\equiv{\rm tr}\log(1+z\Phi^\dagger\Phi)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}nt_nz^n.$$ En términos de los valores propios $\lambda_k$, esto se lee $f(z)=\log\prod_{k=1}^N(1+z\lambda_k)$que a su vez puede expresarse en términos de $t_n$con $n=1,...,N$utilizando una variante de las fórmulas de Viete. La misma estrategia se puede utilizar para un campo $\Phi$en una representación tensorial arbitraria, así como para otros grupos, teniendo en cuenta los tensores invariantes apropiados. Pueden ocurrir relaciones adicionales entre los diferentes invariantes si el tensor tiene alguna simetría o satisface alguna restricción. Por ejemplo, para un tensor sin rastro en la representación adjunta de $SU(N)$uno tiene ${\rm tr}\Phi^4=\frac12({\rm tr}\Phi^2)^2$para $N=2,3$. Por supuesto, si solo está interesado en interacciones renormalizables, necesitará solo una pequeña parte de esta maquinaria.