Diagonalización de matrices en SU(2) y SO(3)

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Diagonalización de matrices en SU(2) y SO(3)

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
representaciones de grupo

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Actualmente estoy usando el libro de Nadri Jeevanjee sobre teoría de grupos para físicos para comprender la mecánica cuántica. Me encontré con estas dos páginas que me dejaron atascado:

Ejemplo 4.19 $SU(2)$ y $SO(3)$

En la mayoría de los libros de texto de física, la relación entre $SO(3)$ y $SU(2)$ se describe en términos de los 'generadores infinitesimales' de estos grupos. Discutiremos las transformaciones infinitesimales en la siguiente sección y luego nos pondremos en contacto con la presentación estándar de física; aquí presentamos la relación en términos de homomorfismo de grupo $\rho:SU(2)\to SO(3)$ , definido como sigue: considere el espacio vectorial (¡verifique!) de todos $2\times2$ matrices anti-hermitianas sin rastro, denotadas como $\mathfrak{su}(2)$ (por razones que explicaremos más adelante). Puedes comprobar que un elemento arbitrario $X\in\mathfrak{su}(2)$ Se puede escribir como
$\begin{matrix} (4.39) & X = \frac{1}{2} (\begin{matrix} - i z & - y - i X \\ y - i X & i z \end{matrix}), X, y, z \in R \end{matrix}$ $X=\frac12 \begin{pmatrix} -iz & -y -ix \\ y-ix & iz \end{pmatrix},\quad x,y,z\in\mathbb R\tag{4.39}$ Si tomamos como base los vectores $\begin{aligned} S_{X} & = - \frac{i}{2} σ_{X} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & - i \\ - i & 0 \end{matrix}) \\ S_{y} & = - \frac{i}{2} σ_{y} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ S_{z} & = - \frac{i}{2} σ_{z} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} - i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) \end{aligned}$ $\begin{align} S_x&=-\frac i2\sigma_x=\frac12 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \\ S_y&=-\frac i2\sigma_y=\frac12 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ S_z&=-\frac i2\sigma_z=\frac12 \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \\ \end{align}$ entonces nosotros tenemos $X = X S_{X} + y S_{y} + z S_{z}$ $X=xS_x + y S_y + z S_z$ por lo que el vector columna correspondiente a $X$ en la base $\mathcal B = \{ S_x, S_y, S_z\}$ es $[X] = (\begin{matrix} X \\ y \\ z \end{matrix}) .$ $[X] = \begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}.$

Tenga en cuenta que
$det X = \frac{1}{4} (X^{2} + y^{2} + z^{2}) = \frac{1}{4} ‖ X ‖^{2}$ $\det X = \frac14\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac14\|X\|^2$ entonces el determinante de $X\in\mathfrak{su}(2)$ es proporcional a la norma al cuadrado de $[X]\in\mathbb R^3$ con la métrica euclidiana habitual. Ahora comprobarás a continuación que $A\in SU(2)$ actúa sobre $X\in\mathfrak{su}(2)$ por el mapa $X\mapsto AXA^\dagger$ , y que este mapa es lineal. Por lo tanto, este mapa es un operador lineal en $\mathfrak{su}(2)$ , y se puede representar en la base $\mathcal B$ por un $3\times 3$ matriz a la que llamaremos $\rho(A)$ , así que eso $[AXA^\dagger]=\rho(A)[X]$ donde $\rho(A)$ actúa sobre $[X]$ por la habitual multiplicación de matrices. Es más, $\begin{matrix} (4.40) & ‖ ρ (A) [X] ‖ = {‖ [A X A^{†}] ‖}^{2} = 4 det (A X A^{†}) = 4 det X = {‖ [X] ‖}^{2} \end{matrix}$ $\left\|\rho(A)[X]\right\| = \left\|[AXA^\dagger]\right\|^2 = 4 \det(AXA^\dagger) = 4 \det X = \left\|[X]\right\|^2 \tag{4.40}$ así que eso $\rho(A)$ conserva la norma de $X$ . Esto implica (vea el Ejercicio 4.19 a continuación) que $\rho(A)\in O(3)$ , y de hecho se puede demostrar ¹³ que $\det \rho(A) = 1$ , así que eso $\rho(A)\in SO(3)$ . Así podemos construir un mapa $\begin{aligned} ρ : S tu (2) & \to S O (3) \\ A & \mapsto ρ (A) \end{aligned}$ $\begin{align} \rho: SU(2) & \to SO(3) \\ A & \mapsto \rho(A) \end{align}$

Es más, $\rho$ es un homomorfismo, ya que
$\begin{aligned} ρ (A B) [X] & = [(A B) X (A B)^{†}] = [A B X B^{†} A^{†}] = ρ (A) [B X B^{†}] \\ (4.41) & = ρ (A) ρ (B) [X] \end{aligned}$ $\begin{align} \rho(AB)[X] & = \left[(AB)X(AB)^\dagger\right] = \left[AB X B^\dagger A^\dagger\right] =\rho(A) \left[BXB^\dagger\right] \\ & = \rho(A)\rho(B)[X] \tag{4.41} \end{align}$ y por lo tanto $\rho(AB) = \rho(A)\rho(B)$ . Es $\rho$ un isomorfismo? Se puede demostrar ¹⁴ que $\rho$ es sobre pero no uno a uno, y de hecho tiene kernel $K=\{I,-I\}$ . De la discusión que precede a este ejemplo, sabemos que $\rho(A)=\rho(-A)\ \forall A\in SU(2)$ (este hecho también se desprende de la definición de $\rho$ ), por lo que para cada rotación $R\in SO(3)$ corresponden exactamente dos matrices en $SU(2)$ a qué mapa $R$ por debajo $\rho$ . Así, al intentar implementar una rotación $R$ en un giro $1/2$ partícula tenemos dos opciones para la $SU(2)$ matriz que usamos, y a veces se dice que el mapa $\rho^{-1}$ tiene doble valor . Sin embargo, en términos matemáticos, generalmente no se habla de funciones con valores múltiples, por lo que decimos que $SU(2)$ es la doble portada de $SO(3)$ , ya que el mapa $\rho$ es sobre ('cover') y dos a uno ('doble').

Tengo las siguientes preguntas:

Anteriormente me presentaron el proceso de diagonalización de matrices. Lo que no entiendo es en este caso, lo que se está diagonalizando, $X$ o $A$ ?
¿Está la matriz final en $SO(3)$ o $SU(2)$ ?
¿Este proceso de diagonalización corresponde a un cambio de base y si es así, qué sentido tiene cambiar de base?
A qué mapeo corresponde $X$ siendo representado como un vector en la base $\{S_x,S_y,S_z\}$ ?
Además, simplemente no entiendo qué significa el mapeo 2 a 1.
yo también entiendo que $X$ es un álgebra de Lie y para encontrar su grupo de Lie hay que exponenciarlo: $e^{X}$ He leído en un libro de matemáticas que este proceso también implica diagonalización. Pero simplemente no entiendo todo el proceso y la relación entre las álgebras de mentira y los grupos de mentira. ¿Por qué es necesario cambiar entre los dos?

WillO

Primero,

X

$X$ no es un álgebra de mentira; es un elemento del álgebra de Lie su(2). Luego, la estructura del álgebra de Lie es totalmente irrelevante aquí; todo lo que importa es que su(2) es un espacio vectorial real tridimensional. Tercero,

A

$A$ es un elemento de

S U (2)

$SU(2)$ , pero actúa (ortogonalmente) sobre

s u (2)

$su(2)$ . Esto define un mapa

ρ : S U (2) \to S O (3)

$\rho:SU(2) \rightarrow SO(3)$ . No entiendo qué significa "la matriz final", o qué "A qué mapeo corresponde

X

$X$ ser representado como..." significa. El mapeo 2 a 1 es el mapeo

ρ

$\rho$ .

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¿Dónde se encuentra la matriz que obtienes después del proceso de diagonalización?

WillO

¿Qué proceso de diagonalización?

paquete

A X A^{- 1}

$AXA^{-1}$ ¿Y qué se está diagonalizando aquí? Entiendo que

A^{†} = A^{- 1}

$A^{\dagger}=A^{-1}$ en matrices unitarias

WillO

X

$X$ y

A X A^{- 1}

$AXA^{-1}$ quedarse en cama

s u (2)

$su(2)$ , que es un espacio vectorial real tridimensional. En cuanto a "lo que se está diagonalizando", usted es el único que parece interesado en diagonalizar algo, por lo que es el único que puede saber de lo que está hablando.

WillO

Por cierto, puede pasar por alto el

s u (2)

$su(2)$ completamente dejando

S U (2)

$SU(2)$ actuar sobre el espacio vectorial (3-d real)

V

$V$ de cuaterniones imaginarios puros. Para ello, identifíquese

S U (2)

$SU(2)$ con todos los cuaterniones unitarios tomando la matriz con la fila superior

(P, Q)

$(P,Q)$ al cuaternión

P + Q j

$P+Qj$ . Ahora

S U (2)

$SU(2)$ actúa sobre

V

$V$ por conjugación. Si lo prefieres

V

$V$ o

s u (2)

$su(2)$ depende de ti; todo lo que necesita es un espacio vectorial tridimensional para

S U (2)

$SU(2)$ para actuar

WillO

En respuesta a su edición: 1) Ninguno. 2) ¿Qué matriz final? 3) ¿Qué proceso de diagonalización? 4) El mapeo de

s u (2)

$su(2)$ a

R^{3}

${\mathbb R}^3$ eso toma

X

$X$ a su representación en la base

⟨ S_{x}, S_{y}, S_{z} ⟩

$\langle S_x,S_y,S_z\rangle$ . 5) Un mapeo es 2 a 1 si la imagen inversa de cada punto tiene cardinalidad 2. 6)

X

$X$ no es un álgebra de mentira.

nelomad

Esto podría no ser una buena idea, ya que se ha demostrado que Matrix es peligroso.

Respuestas (4)

Diagonalización de matrices en SU(2) y SO(3)

Primero, $X$ no es un álgebra de mentira; es un elemento del álgebra de Lie su(2). Luego, la estructura del álgebra de Lie es totalmente irrelevante aquí; todo lo que importa es que su(2) es un espacio vectorial real tridimensional. Tercero, $A$ es un elemento de $SU(2)$ , pero actúa (ortogonalmente) sobre $su(2)$ . Esto define un mapa $\rho:SU(2) \rightarrow SO(3)$ . No entiendo qué significa "la matriz final", o qué "A qué mapeo corresponde $X$ ser representado como..." significa. El mapeo 2 a 1 es el mapeo $\rho$ .
¿Dónde se encuentra la matriz que obtienes después del proceso de diagonalización?
$A X A^{- 1}$ $AXA^{-1}$ ¿Y qué se está diagonalizando aquí? Entiendo que $A^{†} = A^{- 1}$ $A^{\dagger}=A^{-1}$ en matrices unitarias
$X$ y $AXA^{-1}$ quedarse en cama $su(2)$ , que es un espacio vectorial real tridimensional. En cuanto a "lo que se está diagonalizando", usted es el único que parece interesado en diagonalizar algo, por lo que es el único que puede saber de lo que está hablando.
Por cierto, puede pasar por alto el $su(2)$ completamente dejando $SU(2)$ actuar sobre el espacio vectorial (3-d real) $V$ de cuaterniones imaginarios puros. Para ello, identifíquese $SU(2)$ con todos los cuaterniones unitarios tomando la matriz con la fila superior $(P,Q)$ al cuaternión $P+Qj$ . Ahora $SU(2)$ actúa sobre $V$ por conjugación. Si lo prefieres $V$ o $su(2)$ depende de ti; todo lo que necesita es un espacio vectorial tridimensional para $SU(2)$ para actuar
En respuesta a su edición: 1) Ninguno. 2) ¿Qué matriz final? 3) ¿Qué proceso de diagonalización? 4) El mapeo de $su(2)$ a ${\mathbb R}^3$ eso toma $X$ a su representación en la base $\langle S_x,S_y,S_z\rangle$ . 5) Un mapeo es 2 a 1 si la imagen inversa de cada punto tiene cardinalidad 2. 6) $X$ no es un álgebra de mentira.
Esto podría no ser una buena idea, ya que se ha demostrado que Matrix es peligroso.

Emilio Pisanty · Answer 1

Aquí no se diagonaliza nada. El pasaje que cita utiliza la notación

A X A^{†} = A X A^{- 1}

$AXA^\dagger = AXA^{-1}$ (ya que

A

$A$ es unitario), que aparece a menudo en problemas de diagonalización, pero la transformación es mucho más amplia que eso. Este tipo de transformación,

A \mapsto B A B^{- 1},

$A\mapsto BAB^{-1},$ se conoce como una transformación de similitud de matrices , y dos matrices

A

$A$ y

C

$C$ se dice que son similares si y solo si existe una matriz invertible

B

$B$ tal que

C = B A B^{- 1}

$C=BAB^{-1}$ .

La diagonalización es el proceso de tomar una matriz $A$ y encontrar una matriz $C$ que es similar a $A$ y también diagonales.

Sin embargo, los usos de la similitud como relación y transformación van mucho más allá de la simple diagonalización: en esencia, dos matrices son similares si y solo si representan el mismo mapa lineal en dos bases diferentes. Como tal, una amplia gama de propiedades de matriz se conservan por similitud (bien resumidas en el enlace de Wikipedia anterior), que es parte de lo que hace que la relación sea tan útil.

WillO · Answer 2

La estructura del álgebra de Lie de $su(2)$ es completamente irrelevante aquí; todo lo que importa es que $su(2)$ es un espacio vectorial real tridimensional, así que empieza por olvidarte de las álgebras de Lie.

Un elemento $A\in SU(2)$ actúa sobre ese espacio vectorial tridimensional mediante el mapeo $X$ a $AXA^{-1}$ .

Por lo tanto un elemento $A\in\pmatrix{P&Q\cr -\overline{Q}&\overline{P}\cr}$ en $SL(2)$ se puede representar como una matriz real de 3 por 3 $\rho(A)$ . Sería un ejercicio muy, muy bueno que escribieras una fórmula explícita para $\rho(A)$ en términos de $P$ y $Q$ --- no es que el resultado final sea importante, pero esto arreglará en tu cabeza exactamente lo que está pasando aquí. Comience, por supuesto, calculando cómo $A$ actúa sobre cada uno de los tres vectores base conocidos para $su(2)$ ; esas son las columnas de $\rho(A)$ .

Por último, compruebe que $\rho(A)$ es en $SO(3)$ , así que has mapeado $SU(2)$ a $SO(3)$ . Será obvio que $A$ y $-A$ ir al mismo lugar, por lo que el mapeo es (al menos) dos a uno. Puede comprobar además que es exactamente dos a uno.

Próximo paso opcional: Fijar en tu cabeza la idea de que nada sobre $su(2)$ excepto por su tridimensionalidad, identificar $A$ con el cuaternión $P+Qj$ y dejar que actúe en el espacio vectorial real tridimensional de cuaterniones imaginarios puros a través de la conjugación. Esta es una ruta diferente al mismo resultado, y claramente no tiene nada que ver con las álgebras de Lie.

Finalmente, no entiendo ninguna de sus preguntas sobre la diagonalización o por qué está tan ansioso por diagonalizar algo. Dado que usted es quien trae la diagonalización a la mesa, solo usted puede saber qué desea diagonalizar y por qué.

Realmente no veo cómo esto aborda la pregunta como se aclara en los comentarios; para ser honesto, parece más probable que confunda al OP que ayude.
@EmilioPisanty: El OP está confundido acerca de tantas cosas que probablemente sea inútil abordarlas todas de una sola vez. Pero creo que el problema fundamental es que no tiene idea de lo que el autor está tratando de lograr aquí, es decir, mostrar que $SU(2)$ actúa ortogonalmente en un espacio vectorial real tridimensional y, por lo tanto, se asigna a $SO(3)$ . Creo que el ejercicio de escribir la acción explícitamente ayudaría mucho a aclarar (para el OP) cuál es el punto de todo esto
El análogo de cuaternión que menciona WillO está esbozado en el último párrafo de mi respuesta Phys.SE aquí .

qmecanico · Answer 3

En pocas palabras, el primer punto principal es que (salvo algunas constantes convencionales) existe un isomorfismo isométrico del álgebra de Lie $X\mapsto [X]$ Entre
- el álgebra de mentira tridimensional $(su(2),[\cdot,\cdot],\det(\cdot))$ de anti-hermitiano sin rastro $2\times 2$ matrices equipadas con el determinante como un cuadrado estándar, y
- el espacio 3D $(\mathbb{R}^3, \times, |\cdot|^2)$ equipado con el producto vectorial vectorial estándar y el cuadrado estándar estándar.
(La estructura del álgebra de Lie no juega ningún papel en lo que sigue, así que es suficiente pensar en el mapa $X\mapsto [X]$ como un isomorfismo de espacio vectorial isométrico.)
El segundo punto crucial es ahora que para cada elemento del grupo $A\in SU(2)$ , el mapa $\rho(A):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ (que Nadri Jeevanjee define arriba) es una isometría lineal . Por lo tanto es una transformación ortogonal en el espacio 3D $\mathbb{R}^3$ , que puede ser representado por un $3\times3$ matriz ortogonal (donde usamos la base ortonormal estándar en $\mathbb{R}^3$ ). En otras palabras, el mapa $\rho$ es un mapa de $SU(2)$ a $O(3)$ .
Lo anterior ahora se puede ajustar para mostrar que $SU(2)$ es una doble cubierta de $SO(3)$ . No se usa diagonalización en ninguna parte, cf. Preguntas del OP.

bolbteppa · Answer 4

Dada una función de onda $\psi = \psi(\vec{r})$ en función de un vector de posición $\vec{r} = (x,y,z)$ en el espacio, las rotaciones del vector de posición dependen en última instancia de solo dos parámetros $\phi$ y $\theta$ , como puede verse al expresar

\vec{r} = X \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}

$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ en coordenadas polares esféricas

\vec{r} = r pecado (θ) porque (ϕ) \hat{i} + r pecado (θ) pecado (ϕ) \hat{j} + r porque (θ) \hat{k} .

$\vec{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \hat{i} + r \sin(\theta) \sin(\phi)\hat{j} + r \cos(\theta)\hat{k}.$ ¿Cómo representamos las rotaciones de un vector tridimensional en un espacio bidimensional? Bueno, usando

R^{3} = R \times C

$\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{C}$ podríamos considerar vectores de la forma

(X, y, z) \mapsto (z, X + i y) .

$(x,y,z) \mapsto (z,x+iy).$ En este nuevo espacio, ¿podemos construir matrices de rotación y reflexión? Usando la forma de estas matrices expresadas aquí , y usando vectores ortonormales para formar las columnas de una matriz de rotación, tomamos el vector unitario que especifica

\vec{r}

$\vec{r}$ :

{\vec{norte}}_{\vec{r}} = ({norte}_{X}, {norte}_{y}, {norte}_{z}) \mapsto ({norte}_{z}, {norte}_{X} + i {norte}_{y})

$\vec{n}_{\vec{r}} = (n_x,n_y,n_z) \mapsto (n_z,n_x + i n_y)$ y usar vectores como este para construir nuestra rotación

[\begin{matrix} {norte}_{z} & - ({norte}_{X} + i {norte}_{y})^{*} \\ {norte}_{X} + i {norte}_{y} & {norte}_{z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n_z & - (n_x + i n_y)^* \\ n_x + i n_y & n_z \end{bmatrix}$ y reflexión

[\begin{matrix} {norte}_{z} & {norte}_{X} - i {norte}_{y} \\ {norte}_{X} + i {norte}_{y} & - {norte}_{z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & - n_z \end{bmatrix}$ matrices en este nuevo espacio. Como es habitual cuando pasamos de un elemento de grupo de Lie

e^{T}

$e^{T}$ al álgebra de mentira

e^{T} = I + T

$e^{T} = I + T$ queremos ponerlo en la forma

e^{i T^{'}} = I + i T^{'}

$e^{iT'} = I + iT'$ así que eso

e^{T} = e^{- i (i T)} = e^{- i T^{'}} = I - i T^{'}

$e^{T} = e^{-i(iT)} = e^{-iT'} = I - iT'$ , por lo tanto, dadas las matrices anteriores, agregamos

1 = - i i

$1 = - i i$ a esto, para que nuestra matriz de reflexión se convierta

i [\begin{matrix} - i {norte}_{z} & - {norte}_{y} - i {norte}_{X} \\ {norte}_{y} - i {norte}_{X} & i {norte}_{z} \end{matrix}]

$i \begin{bmatrix}- i n_z & - n_y - in_x \\ n_y - in_x & i n_z \end{bmatrix}$ dando el

[\begin{matrix} - i {norte}_{z} & - {norte}_{y} - i {norte}_{X} \\ {norte}_{y} - i {norte}_{X} & i {norte}_{z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}- i n_z & - n_y - in_x \\ n_y - in_x & i n_z \end{bmatrix}$ en tu publicación Ahora,

(n_{x}, n_{y}, n_{z})

$(n_x,n_y,n_z)$ es un vector unitario, si elegimos

({norte}_{X}, {norte}_{y}, {norte}_{z}) = \hat{i} = (1, 0, 0)

$(n_x,n_y,n_z) = \hat{i} = (1,0,0)$ obtenemos, antes de sumar

1 = - i i

$1 = -ii$ :

({norte}_{X}, {norte}_{y}, {norte}_{z}) = \hat{i} = (1, 0, 0) \mapsto σ_{X} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$(n_x,n_y,n_z) = \hat{i} = (1,0,0) \mapsto \sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ similar

(0, 1, 0) = \hat{j} \mapsto σ_{y} = [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}]

$(0,1,0) = \hat{j} \mapsto \sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{bmatrix}$ y de manera similar para

σ_{z}

$\sigma_z$ , de esto se obtiene fácilmente

- i σ_{x}, - i σ_{y}, - i σ_{z}

$- i \sigma_x, - i \sigma_y, - i \sigma_z$ . Él

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ la normalización proviene de resolver las relaciones de conmutación (creo), verifíquelo usted mismo. Observe que usé vectores de columna ortonormales, pero no era necesario.

Así, si $\vec{r} = (x,y,z)$ está representado por $X = \begin{bmatrix}- i z & y - ix \\ y - ix & i z \end{bmatrix}$ , podemos representar una rotación en $\vec{r}$ por otra matriz $A$ en este espacio actuando sobre $X$ por

X^{'} = A X A^{+}

$X' = AXA^+$ y sabemos que esto representa una rotación porque

det (X^{'}) = det (A X A^{+}) = det (X)

$\det(X') = \det(AXA^+) = \det(X)$ conserva la longitud del vector

\vec{r}

$\vec{r}$ , que es el determinante de esta matriz.

Entonces, en este momento respondimos 4. en su lista e ilustramos la idea de 6. sobre la cual puede leer completamente aquí , vamos con 5.:

El mapeo de doble cubierta 2-1 proviene de lo siguiente: Observe la representación de coordenadas esféricas

\vec{r} = r pecado (θ) porque (ϕ) \hat{i} + r pecado (θ) pecado (ϕ) \hat{j} + r porque (θ) \hat{k}

$\vec{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \hat{i} + r \sin(\theta) \sin(\phi)\hat{j} + r \cos(\theta)\hat{k}$ asume una orientación cuando rotamos. En otras palabras, una matriz de rotación se especifica mediante dos vectores de base ortonormales, y estos están orientados de cierta manera (piense en la regla de la mano derecha), pero no hay ninguna razón por la que no podamos haber comenzado desde la orientación opuesta. Este vector es el efecto de un elemento de

S O (3)

$SO(3)$ en un vector de posición, pero mi construcción de un espacio 2-D para representar rotaciones 3-D permite que ambas orientaciones vivan en este espacio, así que si

X^{'} = A X A^{+}

$X' = AXA^+$ es el efecto de una rotación con la orientación anterior, podemos decir

X^{'} = (- A) X (- A)^{+}

$X' = (-A)X(-A)^+$ es el efecto de una rotación con la orientación opuesta, pero

X^{'} = (- A) X (- A)^{+} = A X A^{+}

$X' = (-A)X(-A)^+ = AXA^+$ por lo que tiene dos rotaciones asignadas al mismo elemento, ¡doble cobertura!

Mucho de esto se resume aquí , y en este libro .

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