Cómo construir el homomorfismo de grupo de Lie SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) mediante el isomorfismo del álgebra de Lie Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

Question

Cómo construir el homomorfismo de grupo de Lie SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) mediante el isomorfismo del álgebra de Lie Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos

usuario35952

El álgebra de mentira de $\mathfrak{so(3)}$ y $\mathfrak{su(2)}$ son respectivamente

[L_{i}, L_{j}] = i ϵ_{i j}^{k} L_{k}

$[L_i,L_j] = i\epsilon_{ij}^{\;\;k}L_k$

[\frac{σ_{i}}{2}, \frac{σ_{j}}{2}] = i ϵ_{i j}^{k} \frac{σ_{k}}{2}

$[\frac{\sigma_i}{2},\frac{\sigma_j}{2}] = i\epsilon_{ij}^{\;\;k}\frac{\sigma_k}{2}$

Y por supuesto, hay un isomorfismo entre estas dos álgebras,

Λ : s tu (2) \to s o (3)

$\Lambda : \mathfrak{su(2)} \rightarrow \mathfrak{so(3)}$ tal que

Λ (σ_{i} / 2) = L_{i}

$\Lambda(\sigma_i/2) =L_i$

Ahora es posible, usando $\Lambda$ , para construir un homomorfismo de grupo entre $SU(2)$ y $SO(3)$ ?

Estaba revisando el homomorfismo del grupo de Lie , y en Wikipedia, hay una imagen hermosa ingrese la descripción de la imagen aquí

En el lenguaje de esta imagen, ¿cómo son $\phi$ y $\phi_*$ relacionados entre sí (al igual que el álgebra y los elementos de grupo).

Nota : sé que hay un homomorfismo de uno a dos entre estos dos grupos que se puede encontrar directamente usando los elementos del grupo. No estoy buscando esto.

EDICIÓN 1 : En $SL(2,\mathbb{R})$ los generadores, dicen $X_1,X_2,X_3$ , obedecen las siguientes reglas de conmutación :

[X_{1}, X_{2}] = 2 X_{2}

$[X_1,X_2] = 2X_2$

[X_{1}, X_{3}] = - 2 X_{3}

$[X_1,X_3] = -2X_3$

[X_{2}, X_{3}] = X_{1}

$[X_2,X_3] = X_1$

Y en el caso de $SO(3)$ con otra base, $L_{\pm} = L_1 \pm i L_2$ y $L_z = L_3$ siendo los conmutadores,

[L_{z}, L_{\pm}] = \pm L_{\pm}

$[L_z,L_{\pm}]= \pm L_{\pm}$

[L_{+}, L_{-}] = 2 L_{z}

$[L_+,L_-]= 2 L_z$

Esta álgebra es muy similar al álgebra de la anterior, entonces ¿por qué no podemos definir un mapa?

EDITAR 2 :

¿Se puede escribir así el homomorfismo de grupo entre estos dos grupos (algo así como lo que esperaba):

R = Exp (\sum_{k} i t_{k} L_{k}) = Exp (\sum_{k} i t_{k} \frac{σ_{k}}{2}) = Exp (\sum_{k} i t_{k} \frac{1}{2} yo norte ({tu}_{k}))

$R = \exp(\sum_k i t_k L_k) = \exp\left(\sum_k i t_k \frac{\sigma_k}{2}\right) = \exp\left(\sum_k i t_k \frac{1}{2}ln(U_k)\right)$

Ahora esto parece el mapa $\phi$ ,

R = ϕ (tu) = Exp (\sum_{k} i t_{k} \frac{1}{2} yo norte ({tu}_{k}))

$R = \phi(U) = \exp\bigg(\sum_k i t_k \frac{1}{2}ln(U_k)\bigg)$

Heidar

En este idioma,

ϕ_{⋆}

$\phi_\star$ es esencialmente el diferencial de

ϕ

$\phi$ (en identidad), a veces también llamado pushforward (esto es lo que significa la estrella en el índice). en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_(diferencial) Esta pregunta es probablemente más apropiada en math.SE.

qmecanico

Comentario a la pregunta (v4): tenga en cuenta que los dos generadores

L_{\pm}

$L_{\pm}$ no pertenecen al álgebra de mentira

s o (3)

$so(3)$ . Más bien pertenecen a la complejización

s o (3, C)

$so(3,\mathbb{C})$ . Nótese que las complejizaciones de las álgebras de Lie reales

s u (2) ≅ s o (3)

$su(2)\cong so(3)$ y

s l (2, R) ≅ s o (2, 1)

$sl(2,\mathbb{R})\cong so(2,1)$ son todos iguales, es decir

s l (2, C) ≅ s o (3, C)

$sl(2,\mathbb{C})\cong so(3,\mathbb{C})$ .

usuario35952

@Qmechanic: Oh, muchas gracias, ¿entonces estas dos cosas tienen una similitud?

usuario35952

@Qmechanic: Entonces, ¿existe también una regla general de que los grupos con parámetros reales/complejos tienen su Lie Algebra LVS correspondiente definido sobre un campo real/complejo respectivamente?

qmecanico

↑

$\uparrow$ Sí.

Respuestas (2)

Cómo construir el homomorfismo de grupo de Lie SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) mediante el isomorfismo del álgebra de Lie Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

En este idioma, $\phi_\star$ es esencialmente el diferencial de $\phi$ (en identidad), a veces también llamado pushforward (esto es lo que significa la estrella en el índice). en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_(diferencial) Esta pregunta es probablemente más apropiada en math.SE.
Comentario a la pregunta (v4): tenga en cuenta que los dos generadores $L_{\pm}$ no pertenecen al álgebra de mentira $so(3)$ . Más bien pertenecen a la complejización $so(3,\mathbb{C})$ . Nótese que las complejizaciones de las álgebras de Lie reales $su(2)\cong so(3)$ y $sl(2,\mathbb{R})\cong so(2,1)$ son todos iguales, es decir $sl(2,\mathbb{C})\cong so(3,\mathbb{C})$ .
@Qmechanic: Oh, muchas gracias, ¿entonces estas dos cosas tienen una similitud?
@Qmechanic: Entonces, ¿existe también una regla general de que los grupos con parámetros reales/complejos tienen su Lie Algebra LVS correspondiente definido sobre un campo real/complejo respectivamente?

Valter Moretti · Answer 1

Valter Moretti

Primero observe que los generadores están $-i\sigma_k/2$ y $-iL_k$ , ya que los grupos son grupos de Lie reales y por lo tanto el tensor de estructura debe ser real .

La respuesta a tu pregunta es positiva. En principio basta con tomar la exponencial del isomorfismo del álgebra de Lie y surge así un homomorfismo de grupo de Lie sobreyectivo $\phi : SU(2)\to SO(3)$ :

ϕ (Exp {- \sum_{k} t^{k} i σ_{k} / 2}) = Exp {- \sum_{k} t^{k} i L_{k}} .

$\phi\left(\exp\left\{-\sum_k t^k i\sigma_k/2\right\}\right) =\exp\left\{-\sum_k t^k iL_k\right\}\:.$ El punto es que uno debe estar seguro de que el argumento del lado izquierdo cubre a todo el grupo. Para el caso considerado, esto es cierto porque

S U (2)

$SU(2)$ es compacto

Si, en cambio, considera que no hay grupos de Lie compactos, como $SL(2,\mathbb C)$ , la exponencial no cubre el grupo. Sin embargo, es posible probar que los productos de exponencial sí. En ese caso es suficiente un producto de dos exponenciales, en la práctica descomponiendo un elemento de $SL(2,\mathbb C)$ mediante la descomposición polar, matemáticamente hablando, o como un producto (único) de una rotación y un impulso físicamente hablando.

usuario35952

Gracias !! Pero quisiera saber cual sera la forma funcional de este

ϕ

$\phi$ . Soy bastante nuevo en este tema, ¿puede ser más explícito en esa parte?

Valter Moretti

Bueno, ya está todo explícito en mi respuesta sobre

ϕ

$\phi$ . un elemento de

S U (2)

$SU(2)$ siempre se puede escribir como exponencial como escribí (ese exponencial se puede calcular y la fórmula se puede encontrar en todos los libros sobre QM). El punto fundamental es que el elemento está completamente fijado por los coeficientes

t_{k}

$t_k$ . Estos coeficientes aparecen en el lado derecho determinando la rotación (nuevamente escrita en términos de exponencial) asociada con el elemento de

S U (2)

$SU(2)$ en el lado izquierdo.

usuario35952

@V.Morreti: ¡¡Gracias!! Ya que has señalado sobre SL(2,R). También comprobé que existe un isomorfismo entre las álgebras sl(2,R) y so(3). Por lo tanto, supongo que hay un mapa similar para estos grupos. En ese caso, ¿cuál es el problema que está tratando de abordar?

Valter Moretti

No, el isomorfismo está entre sl(2,R) y o(3,1). Hay un mapa similar, pero ahora cada elemento de

S L (2, R)

$SL(2,\mathbb R)$ tiene que descomponerse como producto de dos exponenciales (utilizando el procedimiento de descomposición polar) y, correspondientemente, aparece un producto de exponenciales en el lado derecho correspondiente a la descomposición estándar de un elemento de

O (3, 1)

$O(3,1)$ como producto de un

S O (3)

$SO(3)$ rotación y una transformación de Lorentz pura.

usuario35952

@V.Morreti: Pero sl (2, R) tiene solo 3 generadores y o (3,1) tiene 6. Creo que estás tratando de hablar sobre sl (2, C) y o (3,1).

Valter Moretti

Lo siento, tienes razón! estaba pensando en

S L (2, C)

$SL(2,\mathbb C)$ pero siempre escribí

S L (2, R)

$SL(2, \mathbb R)$ (el grupo conforme). ¡El punto es que actualmente estoy lidiando con esto último y mis dedos son más rápidos que mi cerebro!

usuario35952

OK :) Pero parece que hay un isomorfismo entre sl(2,R) y so(3) que observé hace un par de días.

Valter Moretti

No, no existe tal isomorfismo. SL(2,R) no es compacto mientras que SO(3) es compacto. Esto implica que no puede existir isomorfismo de grupos o álgebras de Lie.

usuario35952

Sería muy agradable si pudieras ver la parte EDITAR de esta pregunta y explicar por qué no podemos construir dicho mapa, gracias :)

Valter Moretti

Bueno, la respuesta es simple: no se le permite considerar esta combinación lineal

L_{1} \pm i L_{2}

$L_1 \pm iL_2$ si

L_{1}, L_{2} \in s o (3)

$L_1,L_2 \in so(3)$ . Esto se debe a que se trata de un álgebra de Lie real , por lo que solo son posibles las combinaciones lineales reales. Si

L_{1}, L_{2} \in s o (3)

$L_1,L_2 \in so(3)$ entonces

L_{1} \pm i L_{2} \notin s o (3)

$L_1 \pm iL_2 \not \in so(3)$ .

Valter Moretti

Obviamente, surge la misma obstrucción si, en su notación,

i L_{k}

$iL_k$ son los generadores de

s o (3)

$so(3)$ .

usuario35952

¡Una pregunta más (perdón por el problema), es la parte EDITAR 2 (que acabo de agregar) en la pregunta apropiada para abordar el mapeo de grupos!

Valter Moretti

Sí. tt es suficiente para definir

U_{k} = e^{σ_{k}}

$U_k = e^{\sigma_k}$ ...

usuario35952

Pero creo que el homomorfismo de grupo es de dos a uno.

R_{i k} = \frac{1}{2} T r (U σ_{i} U^{†} σ_{k})

$R_{ik} = \frac{1}{2}Tr(U\sigma_i U^{\dagger}\sigma_k)$ . ¿Cómo justificamos estos dos mapas?

Valter Moretti

Es la primera vez que lo veo. Si está seguro de que su mapa

S U (2) ∋ U \mapsto R \in S O (3)

$SU(2) \ni U \mapsto R\in SO(3)$ conserva la composición de las matrices y que su diferencial envía

i σ_{k} / 2

$i\sigma_k/2$ a

i L_{k}

$iL_k$ , como es continuo, debe coincidir con el mapa que escribí usando exponenciales, ya que hay exactamente un homomorfismo de grupo de Lie que extiende un homomorfismo de álgebra de Lie. Además, la expresión que proporcioné para el homomorfismo de cobertura es dos-uno. Esto se debe a que, por ejemplo,

e^{i (t_{3} + 2 π) L_{3}} = e^{i t_{3} L_{3}}

$e^{i (t_3 +2\pi) L_3} = e^{i t_3 L_3}$ pero

e^{i (t_{3} + 2 π) σ_{3} / 2} = - e^{i t_{3} σ_{3} / 2}

$e^{i(t_3 + 2\pi) \sigma_3/2}= - e^{it_3 \sigma_3/2}$ .

Selene Routley · Answer 2

Así que supongo que es claramente consciente de que la gran representación de A Adjoint es el homomorfismo que busca en este caso, por lo que está buscando un método más general.

Además, supongo que sabe que el homomorfismo de las álgebras de Lie solo puede elevarse a un homomorfismo de grupo si el dominio del homomorfismo está simplemente conectado, en cuyo caso hay un homomorfismo de grupo único con el homomorfismo de álgebra dado como su mapa de Lie . En este caso, estamos limpios porque $SU(2)$ simplemente está conectado. Página 73 a la 76 de:

Anthony Knapp, "Grupos de mentiras más allá de una introducción"

entonces puede ayudarte. Knapp le brinda dos métodos para construir sistemáticamente el grupo de Lie simplemente conectado: el primero lo deja con ecuaciones diferenciales para los campos vectoriales invariantes izquierdo / derecho, el segundo creo que es lo mismo que la Respuesta de V. Moretti .

Un "método" final es utilizar el teorema de Ado, que nos asegura que siempre podemos realizar un álgebra de Lie como un álgebra de Lie matricial; incluso hay un algoritmo de software explícito para esto:

WA De Graaf, "Construcción de representaciones matriciales fieles de álgebras de mentira"

pero si puede entender este algoritmo, lo está haciendo mejor que yo (este documento hasta ahora me ha derrotado). Una vez que tenga un álgebra matricial, puede usar la matriz exponencial para construir una vecindad de la identidad, de hecho, todo el grupo si este último es compacto; como en la Respuesta de V. Moretti, el álgebra de Lie no se exponen a todo el grupo para grupos no compactos (que yo sepa, el problema de qué exactamente en un grupo de Lie no compacto se puede realizar como exponencial de un elemento de álgebra de Lie es hasta cierto punto sigue siendo un problema abierto).

Entonces, una vez que tenga el grupo de Lie, en principio puede construir la cubierta universal con clases de homotopía y tallar el centro discreto $\mathcal{Z}_d$ de la funda universal. Su grupo original tendrá como grupo fundamental el grupo cociente de $\mathcal{Z}_d$ y uno de sus subgrupos (normales).

@ V.Moretti ¡Dígale que todavía toco su trabajo de vez en cuando, pero aún así lo dejo muy magullado! No se pretende menospreciar sus habilidades de escritura técnica: una implementación real de un algoritmo del teorema de Ado no es algo fácil de transmitir, probablemente no sea la audiencia más aguda y él (de Graaf) ciertamente ha hecho un trabajo muy hermoso.
los enlaces a sus notas parecen estar muertos, y ahora redireccionan a un sitio web muy incompleto/basura

Cómo construir el homomorfismo de grupo de Lie SU(2)→SO(3)SU(2)→SO(3)SU(2) \to SO(3) mediante el isomorfismo del álgebra de Lie Λ:su(2)→so(3) )Λ:su(2)→so(3)\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)?

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