¿Dónde exploró Leibniz la regla del producto del cálculo diferencial?

Se discute en múltiples manuscritos, cartas y publicaciones desde 1675 hasta 1701.

De acuerdo con la publicación de Fracois Ziegler en MO ¿Realmente Leibniz se equivocó en la regla de Leibniz? , pensó originalmente Leibniz$d(uv)=du\,dv$en un caso especial, pero corrigió su error el mismo mes en el manuscrito Methodi tangentium inversae exempla (11 de noviembre de 1675) . Más tarde el mismo mes la regla general correcta$d\overline xy = d\overline{xy}-xd\overline y$aparece en Pro methodo tangentium inversa et aliis tetragonisticis specimina et inventa (27 de noviembre de 1675) , donde lo llama " un teorema realmente notable y general para todas las curvas ".

Reaparece en Elementa calculi novi... (1680), que era un borrador del Acta Eruditorum Nova Methodus pro Maximis et Minimis... (octubre de 1684) enlazado en la respuesta de Victor Blasjo, su primera publicación sobre el nuevo cálculo. Incluso allí no prueba la regla del producto u otras proposiciones, pero las justificaciones aparecen, por ejemplo, en una carta a Wallis del 30 de marzo de 1699, basada en lo que ahora llamamos el "método de agotamiento", y en Cum prodiisset atque increbuisset Analysis mea infinitesimalis (1701), basado en el "principio de continuidad" característico de Leibniz: " En cualquier supuesta transición continua, que termine en cualquier término, es permisible instituir un razonamiento general,". Ambos métodos se utilizan en Justification du Calcul des infinitesimales (1701).

La evolución de Leibniz sobre los infinitesimales, y la regla del producto en particular, se describe en On the Attempts made by Leibniz to Justify his Calculus by Horvath :

" Desde aproximadamente 1680, el cálculo leibniziano paso a paso se vuelve más desarrollado y más consolidado, y la característica variable de la cantidad infinitamente pequeña pasa a primer plano. A partir de ese momento podemos observar en las obras de Leibniz los intentos más conscientes de esbozar la concepto, y el uso de las cantidades infinitamente pequeñas.Por ejemplo, en su manuscrito Elementa, las cantidades$_1D_2C,\,_2C_3D, ...$se conciben como "incrementa momentanea" del segmento de línea BC8. En el mismo manuscrito afirma que$d\overline{xy}$, eso es$d(xy)$, es la diferencia entre dos términos próximos de la variable geométrica bidimensional finita$xy$. Uno de estos términos es la variable xy, y el otro es$(x+dx)(y+dy)$, de modo que$d(xy)$es igual a$(x+dx)(y+dy) - xy$.

[...] El mencionado manuscrito Elementa es un borrador preliminar del famoso artículo de Leibniz titulado Nova Methodus pro maximis et minimis (ver [4]). Vale la pena observar que existe una clara distinción entre las dos concepciones de cantidades infinitamente pequeñas utilizadas por Leibniz en estos dos artículos. En el borrador, (ver [3]), como hemos visto, los segmentos de línea$DC$fueron pensados ​​por Leibniz como infinitamente pequeños, es decir "incrementa momentanea". En la versión final [4], sin embargo, Leibniz no usa diferenciales sino sólo diferencias en el sentido de cantidades fijas, pequeñas y finitas. Supuestamente, Leibniz no usa el término "infinitamente pequeño" en su artículo [4] para evitar controversias que probablemente habrían surgido en relación con esta noción.

[...] Se sabe que Leibniz no probó las proposiciones que ocurrieron en su primera publicación de su cálculo (ver [4]). Ahora pasemos a la discusión de cómo Leibniz justifica, por ejemplo, la regla de diferenciación para un producto.$xy$usando cantidades incomparables, eso es aludiendo al método de Arquímedes. La cantidad$d(xy)$es igual a la cantidad$(x+dx) (y+dy) - xy$. (Entonces$d(xy)$es igual a la diferencia entre dos adyacentes$xy$, de los cuales uno sea$xy$, el otro$(x+dx)(y+dy)$.) Durante los cálculos, la cantidad$dxdy$puede omitirse ya que este término es incomparablemente menor con respecto a los demás, así obtenemos el resultado sonoro$d(xy) = xdy + ydx$. Ese razonamiento puede tratarse al estilo arquimediano, afirmando que el error será menor que cualquier cantidad positiva dada. Leibniz señala ([30], p. 63) que no discute la cuestión de si las cantidades inasignables son o no conceptos ficticios o no, porque basta que estas cantidades sirvan para acortar el razonamiento. ".

Horvath también describe la justificación del principio de continuidad, pero es más complicado, así que no lo reproduciré aquí. Los manuscritos de Leibniz sobre cálculo se recopilan en Historia et origo calculi diferencialis a GG Leibnitio conscripta (1846) editado por Gerhardt , véase también la versión de Archive .

Leibniz establece la regla del producto en su primer artículo sobre cálculo (1684). Está en el medio de la primera página (página 467) como se puede ver aquí: https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-leibnizs-papers-on-calculus- differential- calculus and también en traducción al inglés (parte superior de la página 2) aquí: http://www.17centurymaths.com/contents/Leibniz/nova1.pdf