Funciones de onda y paquetes de onda

No todas las funciones de onda son paquetes de ondas. Con frecuencia se considera que las funciones de onda incluyen funciones que no son correctamente normalizables, como$\operatorname{e}^{ikx}$, por lo que los describimos como "normalizados a la función delta". Es decir, exigimos

$$\delta(k - k') = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{d} x \psi^\star(x, k') \psi(x, k),$$ que lleva a cosas como $\psi(x,k) = \operatorname{e}^{ikx} / \sqrt{2\pi}$.

Con un paquete de ondas hacemos el requisito más estricto de que sea normalizable y localizado en ambos$x$y$p$. El ejemplo canónico de un paquete de ondas es:

$$\psi(x) \propto \exp \left(-\frac{1}{4} \frac{(x - x_0)^2}{\sigma^2} + i \frac{p_0 x}{\hbar}\right),$$ que tiene $\langle x\rangle = x_0$y $\langle p \rangle = p_0$, y es normalizable con ancho finito en ambos $x$y $p$espacio.

Otro ejemplo de un paquete de ondas es el$\operatorname{sinc}$función:

$$\psi(x) \propto \frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2\hbar}\Delta p\right)}{(x-x_0)} \operatorname{e}^{ip_0 x / \hbar}.$$ se localiza en $x$, en el sentido de que es normalizable y tiene cuantiles definidos, pero tiene varianza divergente. En $p$se comporta mucho mejor porque es una función de furgón que se extiende desde $p_0 - \Delta p / 2$a $p_0 + \Delta p / 2$.