Dos expresiones para el número instantáneo topológico

Es el teorema de Stokes. Considere un campo$F = dA + A \wedge A$tal que$A$es calibre puro en el infinito, es decir,$\lim_{x\to\infty} A(x) = \omega\, d \omega^{-1}$para algunos$\omega : S^3 \to SU(2) \sim S^3$dónde$\omega$es una función en las 3 esferas porque el límite puede depender de la dirección hacia el infinito.

En formas diferenciales la primera expresión es$\newcommand{tr}{\operatorname{tr}}\tr A \wedge A \wedge A.$Ya que en el infinito,$F = dA + A \wedge A$desaparece, podemos agregar$0$en forma de$-3\tr F \wedge A$a esta expresión. ¹

Tenemos

$$d \tr (F\wedge A) = d \tr (dA \wedge A + A \wedge A \wedge A) = \tr dA \wedge dA + 3\tr dA \wedge A \wedge A.$$ Ahora aplique el teorema de Stokes donde consideramos el infinito como un espacio-tiempo límite de 3 esferas. La última parte se deriva de la propiedad cíclica de la traza. Así obtenemos $$\int_{S^3} \tr A \wedge A \wedge A = \int_{S^3} \tr A\wedge A \wedge A - 3 F\wedge A = \int_M \tr \big[3 dA\wedge A \wedge A - 3 dA \wedge dA - 9 dA\wedge A\wedge A\big].$$ Excepto por el término $A^{\wedge 4} = A\wedge A \wedge A \wedge A$, estamos tomando el rastro de $-3 F\wedge F$. Pero $A^{\wedge 4}$no tiene rastro (use la propiedad cíclica del rastro). Por eso $$\int_{S^3} A\wedge A \wedge A = -3 \int_M F\wedge F.$$

Ahora$F\wedge F = 2 F^{\mu\nu} F^*_{\mu\nu}$porque el$F^*_{\mu\nu}$El tensor generalmente se define con un$\frac{1}{2}$factor, por lo que esto establece el relativo$-\frac{3}{2}$en las dos expresiones de$Q$.

---

¹ Esto parece sacado de la nada porque es . Lo agrego porque sé lo que quiero obtener. Por lo general, uno va en la dirección opuesta comenzando con $F \wedge F = d(dA \wedge A + \frac{2}{3}A\wedge A \wedge A)$. El término que agregamos es la parte de este que desaparece en el infinito. Ponerlo de nuevo es un poco menos natural.