¿Por qué se mantiene la identidad de Ward para las teorías de calibre?

Las identidades de Ward son la declaración de que si escribimos la amplitud de dispersión para un fotón externo con polarización$\zeta$y el impulso$k$como$M = \zeta^\mu M_\mu$, entonces nosotros tenemos$k^\mu M_\mu = 0$. Esta ecuación es importante porque muestra que las polarizaciones longitudinales espurias proporcionales al momento del fotón se desacoplan de todos los procesos físicos porque sus amplitudes de dispersión son genéricamente cero.

La identidad de Ward se cumple para todas las teorías de calibre de Yang-Mills en las que el campo de calibre se acopla a una corriente conservada, y también se cumple para las teorías de campos vectoriales masivos que no tienen simetrías de calibre, siempre que se acoplen a una corriente en forma de el ser lagrangiano de interacción$A^\mu j_\mu$dónde$j_\mu$es alguna función de los campos de materia a los que se acopla el campo de calibre. La invariancia de calibre del lagrangiano y esta forma de acoplado conducen directamente a las identidades de Ward a través de la identidad general de Ward-Takahashi:

Para$j^\mu$la corriente conservada de una simetría continua global (que es parte de toda simetría de calibre), tenemos que

$$\partial_\mu \langle T j^\mu(x) \phi(x_1)\dots \phi(x_n)\rangle = - \mathrm{i}\sum_{j=1}^n \langle \phi(x_1)\dots\phi(x_{j-1}) \delta\phi(x_j)\phi(x_{j+1})\dots \phi(x_n)\tag{1}$$ se mantiene para todos los campos $\phi$, dónde $\delta \phi$es la variación de $\phi$bajo la simetría. Una amplitud de dispersión que involucra un fotón externo es esquemáticamente $$M(k) = \zeta^\mu \mathrm{i} \int \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \partial_x^2 \langle T A_\mu(x)\cdot\text{other stuff}\rangle$$ y desde $\frac{\delta S}{\delta A^\mu} = \partial_x^2 A_\mu(x) - j^\mu$se mantiene clásicamente, obtenemos $$\partial_x^2 \langle TA_\mu(x) \dots\rangle = \langle T j_\mu(x) \dots \rangle + \text{contact terms}$$ al usar la ecuación de Dyson-Schwinger . Los términos de contacto son $n-1$-apuntan funciones y no contribuyen a lo conectado $n$función de punto que estamos tratando de calcular, por lo que podemos ignorarlos.

Finalmente, por$\zeta^\mu = k^\mu$, podemos usar la relación de Fourier entre$k$y$\partial$para tirar de la$\zeta^\mu$en la integral, dándonos$\partial_\mu\langle j^\mu\dots\rangle$dentro de la integral. Según Ward-Takahashi (ecuación (1)), esto también consiste solo en términos de contacto que no contribuyen a la amplitud de dispersión y, por lo tanto,$\zeta^\mu M_\mu = 0$.

Las únicas suposiciones que se incluyeron en este argumento son que tenemos una simetría continua global con corriente conservada$j_\mu$, y que la ecuación de movimiento para el campo de norma es$\partial_x^2 A = j_\mu$. Esto es para el caso abeliano.

Para el caso no abeliano de Yang-Mills, las identidades correspondientes se vuelven más complicadas, aunque aún siguen la lógica general de las identidades de Ward-Takahashi. Las versiones no abelianas se denominan identidades de Slavnov-Taylor y también involucran los campos fantasma de Faddeev-Popov, pero también significan que la polarización longitudinal se desacopla de todos los procesos físicos.

Finalmente, podemos abordar la "igualdad"

$$\lvert e,p\rangle = \lvert e',p'\rangle + Q\lvert \psi\rangle.$$ Esto debe considerarse como una igualdad que imponemos en el espacio de estados de Hilbert para deshacernos de los estados de norma negativa/cero. A priori, $\lvert e,p\rangle$y $\lvert e',p'\rangle$son estados diferentes, pero forzamos esta ecuación de la manera habitual de un espacio de cociente en el espacio físico de estados. Dos elementos que se diferencian por una imagen de $Q$se declaran iguales, más precisamente, el espacio físico de Hilbert es la cohomología de $Q$, eso es, $\ker(Q)/\mathrm{im}(Q)$. La identidad de Ward asegura que este cociente es físicamente inofensivo, solo porque las polarizaciones longitudinales (que corresponden a $\mathrm{im}(Q)$en la formulación BRST no abeliana) se desacopla, se nos permite decir que dos estados que difieren solo por tal polarización son iguales, ya que esto garantiza que las amplitudes de dispersión para todos los estados que acabamos de declarar iguales en realidad son iguales. Sin la identidad de Ward, tomar el cociente entre los estados de norma cero es físicamente inconsistente.