¿Transformaciones de calibre grande y pequeño?

En los casos en que el grupo de calibre esté desconectado, ambas opciones de definir el espacio físico como el cociente del espacio de campo por todo el grupo de calibre$\mathcal{A}_{physical} = \frac{\mathcal{A} }{ \mathcal{G}}$o por su conexión con el componente de identidad$\mathcal{A}_{physical} = \frac{\mathcal{A} }{ \mathcal{G}_0}$son matemáticamente sólidos. En el segundo caso, las transformaciones de gran calibre no están incluidas en la reducción, por lo que se transforman entre configuraciones físicamente distintas, y en la teoría cuántica entre estados físicamente distintos.

Sin embargo, como razona NP Landsman , la primera opción pasa por alto cuantizaciones no equivalentes que corresponden a la misma teoría clásica. En el caso de los monopolos magnéticos estas distintas cuantizaciones corresponden a monopolos con carga eléctrica fraccionaria (Dyons). Este fenómeno fue descubierto por Witten (el efecto Witten). Si todo el grupo de calibre, incluidas las grandes transformaciones de calibre, se cotiza, tales estados no estarían presentes en la teoría cuántica.

En la teoría del monopolo, las cuantizaciones no equivalentes se pueden obtener sumando un término theta al Lagrangiano (tal como en el caso de los instantones). Landsman ofrece una explicación de este término en la imagen hamiltoniana cuántica: Suponiendo$\pi_0(\mathcal{G})$es abeliano, entonces, cuando el grupo de calibre no está conectado, entonces un producto interno invariante de calibre se puede definir como:

$\langle \psi| \phi \rangle_{phys} = \sum_{n \in \pi_0(\mathcal{G})} \int_{g\in \mathcal{G_0}} e^{i \pi \theta n} \langle \psi| U(g) |\phi \rangle$

Donde los estados originales pertenecen al espacio de Hilbert no invariante de calibre (grande). Este producto interior es$\mathcal{G}_0$invariante para todos los valores de$\theta$.

Una respuesta con un ejemplo. En la medida en que una partícula en movimiento está en un estado diferente al de una partícula en reposo, un agujero negro en movimiento está en un estado diferente al de un agujero negro en reposo. La transformación que mapea el estado de un BH en reposo al estado de un BH en movimiento es una gran transformación de calibre. Esperando que esto aclare las cosas.