Dinámica de rodadura de objetos redondos por una pendiente

Question

Dinámica de rodadura de objetos redondos por una pendiente

sagar

Si un cilindro rueda por un plano inclinado con inclinación $\theta=30^\circ$ (con coeficiente de fricción estática entre el cilindro y el plano $\mu_s=0.8$ ) sin deslizar y tiene masa $12kg$ y radio $0.5 m$ entonces la fuerza de rozamiento $f$ necesario se va a calcular. Si lo calculas (yo también he hecho los cálculos pero no tengo tiempo de escribir todo eso y eso no tiene mucha importancia para la pregunta) resulta ser $f = (mg\sin\theta)/3 = 20N$ . (Llevar $g = 10m/s^2$ )

Aquí hay un FBD horrible:

En este caso la MÁXIMA fricción estática posible es $f_{max}=0.8*12*10*\cos30^\circ$ = $48\sqrt3 N$ . es mayor que el peso $mg$ 's $\sin\theta$ componente que es $mg\sin\theta = 60N$ .

Entonces, ¿no debería la fricción ser igual a $60N$ ? Quiero decir, ¿no es eso lo que sucede cuando la fricción estática máxima es mayor que la fuerza aplicada, que ella misma se ajusta a la fuerza aplicada y la cancela? Estoy seguro de que esto es lo que sucede con los objetos no redondos.

Sé si la fricción sería igual a $60N$ entonces el cilindro detendría el movimiento de traslación y no rodaría, sino que comenzaría a deslizarse, ya que el par proporcionado por la fuerza de fricción proporcionará una aceleración angular mayor que el valor requerido para rodar y, en última instancia, esto conducirá a un movimiento muy complicado.

Entonces, ¿por qué la fricción se ajustaría a $20N$ ? ¿Solo porque esta es la fuerza exacta requerida para hacer rodar el cilindro?

Pero la fricción no calcula cuánto debe ajustarse para hacer que algo ruede . ¿Por qué le importaría a la fricción si algo está rodando o no? Y si es así, ¿cómo "sabe" cuánto ajustar? Puede ser $60N$ (Sin embargo, eso significaría no rodar). Entonces, ¿la pregunta es defectuosa o me estoy perdiendo algo?

lucas

La fuerza de fricción puede ser mayor que

m g s i n (θ)

$mgsin(\theta)$ porque

m g s i n (θ)

$mgsin(\theta)$ no causa fuerza de fricción en este caso.

sagar

@lucas Entonces, ¿qué hace? Y si la fuerza de rozamiento es mayor que la

m g s i n θ

$mgsin\theta$ entonces, ¿eso no haría que el cilindro se moviera hacia arriba en el plano?

Ilja

sí lo sería :) pero puede ser menos. El punto es: tampoco pienses en la fricción como

μ F_{N}

$\mu F_N$ ni como la cuesta abajo-

m g

$mg$ -componente. Se ajusta, como tú lo llamas, esto es bastante correcto. Por qué lo hace... bueno, esta es tu pregunta, en realidad, a la derecha :)

lucas

La fuerza de fricción es una fuerza fija. Se fija al suelo en cada punto. No se mueve y, por lo tanto, no puede hacer que el cilindro se mueva hacia arriba en el plano.

sagar

@lucas Sí, pero si es mayor que

m g s i n θ

$mgsin\theta$ , entonces lo haría .

lucas

Hace que el cilindro gire.

sagar

@lucas Sí, pero en consecuencia para el centro de masa en su caso:

m a = f r i c t i o n - m g s i n θ

$ma = friction -mgsin\theta$ . Es decir, subiría, lo cual no es posible.

lucas

No puede utilizar

m g s i n θ - f = m a

$mgsin\theta-f=ma$ porque en cada momento f no es la fuerza que era en el momento anterior.

sagar

@lucas ¿Por qué cambiaría?

lucas

Porque el punto de contacto cambia.

sagar

Sí, pero la magnitud de la fuerza de fricción (y la dirección) no cambiaría por eso.

lucas

Mi Inglés es pobre. No puedo explicar bien. La fuerza de fricción no es una fuerza de trabajo. Es una fuerza de reacción. Cuando f ejerce sobre el cilindro, hace que el cilindro gire y antes de que pueda hacer un trabajo lineal, el punto de contacto cambia.

Ilja

lucas, tu inglés está bien, pero estás equivocado. Al menos

m g \sin θ - f

$mg\sin\theta- f$ es de hecho la fuerza aceleradora y es igual a

m a

$ma$ . De hecho, la fricción no funciona, pero esas dos afirmaciones no son contradictorias.

lucas

@Ilja: Todo es posible querida Ilja. Puede que me equivoque.

Ilja

... lo siento si soné ofensivo y demasiado duro. Solo quería decirle a Sagar que tiene razón en ese punto.

lucas

@Ilja: Gracias por su atención. Buena suerte.

Respuestas (3)

Dinámica de rodadura de objetos redondos por una pendiente

La fuerza de fricción puede ser mayor que $mgsin(\theta)$ porque $mgsin(\theta)$ no causa fuerza de fricción en este caso.
@lucas Entonces, ¿qué hace? Y si la fuerza de rozamiento es mayor que la $mgsin\theta$ entonces, ¿eso no haría que el cilindro se moviera hacia arriba en el plano?
sí lo sería :) pero puede ser menos. El punto es: tampoco pienses en la fricción como $\mu F_N$ ni como la cuesta abajo- $mg$ -componente. Se ajusta, como tú lo llamas, esto es bastante correcto. Por qué lo hace... bueno, esta es tu pregunta, en realidad, a la derecha :)
La fuerza de fricción es una fuerza fija. Se fija al suelo en cada punto. No se mueve y, por lo tanto, no puede hacer que el cilindro se mueva hacia arriba en el plano.
@lucas Sí, pero si es mayor que $mgsin\theta$ , entonces lo haría .
@lucas Sí, pero en consecuencia para el centro de masa en su caso: $ma = friction -mgsin\theta$ . Es decir, subiría, lo cual no es posible.
No puede utilizar $mgsin\theta-f=ma$ porque en cada momento f no es la fuerza que era en el momento anterior.
Sí, pero la magnitud de la fuerza de fricción (y la dirección) no cambiaría por eso.
Mi Inglés es pobre. No puedo explicar bien. La fuerza de fricción no es una fuerza de trabajo. Es una fuerza de reacción. Cuando f ejerce sobre el cilindro, hace que el cilindro gire y antes de que pueda hacer un trabajo lineal, el punto de contacto cambia.
lucas, tu inglés está bien, pero estás equivocado. Al menos $mg\sin\theta- f$ es de hecho la fuerza aceleradora y es igual a $ma$ . De hecho, la fricción no funciona, pero esas dos afirmaciones no son contradictorias.
@Ilja: Todo es posible querida Ilja. Puede que me equivoque.
... lo siento si soné ofensivo y demasiado duro. Solo quería decirle a Sagar que tiene razón en ese punto.

Ilja · Answer 1

En primer lugar: su solución es correcta, la fricción es un tercio de lo que habría sido para un cuerpo "no redondo", como lo llama.

¿Cómo sabe la fricción? Me gustan esas preguntas, pero no veo un razonamiento simple convincente en este momento (pero probablemente lo haya), así que usaré un poco de cálculo. Espero que sea diferente (menos computación ^^) que su solución. Y espero que pueda seguir mi tratamiento insípido, debería transmitir la idea a alguien que pueda calcularlo por sí mismo...:

Probablemente aceptes que la fricción quiere lograr $v=\omega r$ , ¿bien? De lo contrario, habría deslizamiento. Ahora entra en juego una propiedad especial del sistema: el momento de inercia de un cilindro tiene el factor $1/2$ . Esto significa que el momento angular es $L=\frac 12 pr$ (Hubiera sido igual a $pr$ por un punto) si $v=\omega r$ .

Si esto es válido todo el tiempo, las derivadas también deben ser iguales. Entonces, para la fuerza total y el par total, también obtienes la relación $\tau = \frac 12 Fr$ . El torque (alrededor del centro) proviene solo de la fricción (veces $r$ por supuesto), mientras que la fuerza neta es el componente de gravedad cuesta abajo $\frac{mg}2$ menos la fricción. Entonces, si desea que tengan una relación de 1: 2, debe ajustar la fricción a un tercio del componente cuesta abajo. Si fuera diferente, entonces la velocidad y la velocidad angular no cambiarían en la proporción adecuada para mantenerse iguales. Lo que significa deslizarse.

... como otro punto de vista:
puede describir la traslación y la rotación combinadas alrededor del centro con solo una rotación en cada instante. Gira alrededor del punto límite (que se mueve, pero en cada instante esta descripción es cierta). Ahora puedes hacer argumentos análogos con respecto a este punto, solo con un momento de inercia de $\frac 32$

Entonces el punto es: $v=\omega r$ en este caso es el equivalente a no moverse en el caso no giratorio. Por cierto, puede calcular de inmediato la fricción necesaria si el cuerpo no es un cilindro sino una esfera: entonces el par y la fuerza deben estar en una proporción de 2: 5, necesita una fuerza de fricción de $\frac 27$ de la componente de gravedad $\frac {mg}2$

Gracias por la respuesta ! Tengo esa fricción quiere $v=ωr$ para que no haya movimiento deslizante. Pero el funcionamiento detrás de cómo la fricción se ajusta a sí misma no está claro para mí.
Bueno, es lo mismo que, por ejemplo, la tensión en una cuerda que tiras. La cuerda ajusta un poco su longitud (es como un resorte muy rígido) para que su tensión sea igual a la fuerza con la que tiras de ella. Si no lo fuera, se movería en la dirección donde la fuerza es mayor, y por lo tanto reduciría o aumentaría su tensión.
¿Ves la analogía? Es lo mismo con la fricción (proviene de un pequeño desplazamiento del material que provoca tensiones internas), pero es más difícil de expresar con palabras, porque no es tan agradablemente unidimensional.

M. Enns · Answer 2

M. Enns

La fricción actúa para oponerse a que las dos superficies en contacto se deslicen entre sí. No será más grande de lo necesario para hacer eso.

sagar

Bien, eso explica por qué será 20 N. Pero, ¿puede explicar cómo la fricción realmente "sabría" que tiene que ajustarse a 20 N para que no se produzca un deslizamiento? Sé que es una especie de pregunta estúpida.

M. Enns

Lo que estás preguntando es equivalente a preguntar por qué si empujo una caja en una superficie nivelada con una fuerza de 20 N hacia el Este, ¿no obtengo una fuerza de 60 N empujándola hacia el Oeste y acelerándola en la dirección opuesta? Esa es su siendo empujado

sagar

Pero en ese caso es fácil entender cómo la fricción se autoajustará a 20 N. ¡En mi pregunta no es obvio! Sé que la fricción = 20 N es necesaria para rodar, pero ¿cómo puede "saberla" la fricción? Además, en el movimiento de traslación, si la fuerza aplicada es menor que la fuerza de fricción, entonces el objeto no realiza ningún movimiento de traslación. Pero en la pregunta, lo hace tanto traslacional como rotacional.

jerbo sammy

@ Sagar Kaushik: Es lo mismo con un resorte: reacciona a la fuerza con la que lo tiras. Si tira con 20N se extenderá hasta que la tensión interna aumente a 20N tirando hacia atrás contra usted. Si tira con 60N, se extiende hasta que la fuerza interna es de 60N tirando hacia atrás contra usted. Si tira con 200 N, eso puede ser más de lo que pueden proporcionar las fuerzas internas, por lo que el resorte se deforma. El resorte no 'sabe' cuánta fuerza está usando; simplemente reacciona. Tirar contra la fricción es así. Hasta cierto punto, la fricción puede oponerse al movimiento. Más allá de eso, el contacto se rompe.

sagar

@sammygerbil Tienes razón. Es solo que en el caso anterior, es más difícil para mí visualizar cómo la fricción hace esto. Solo en el movimiento de traslación está claro que la fricción debe tener el mismo valor que la fuerza aplicada (tercera ley de Newton) si la fricción límite es mayor que la fuerza aplicada. Pero en mi pregunta, no tanto. También es claro y fácil en su ejemplo de primavera. Pero de todos modos muchas gracias.

sagar

@sammygerbil En la misma pregunta, si se supiera que el cilindro estaba inicialmente en reposo, ¿cuál habría sido el valor de la fuerza de fricción sobre él? ¿Sería la fricción inicialmente igual a

m g s i n θ

$mgsin\theta$ o algo mas ?

jerbo sammy

@SagarKaushik: Acelerar y estar instantáneamente en reposo no son incompatibles, por lo que la fricción sería la misma. Pero si el cilindro permaneciera en reposo, tendría que haber alguna otra fuerza presente para evitar que rodara cuesta abajo. Entonces la situación sería diferente.

granjero · Answer 3

La fuerza de rozamiento viene dada por $f = \frac 1 3 mg \sin \theta$ cuando la condición de no deslizamiento ( $a=r \alpha$ ) Está satisfecho.

Si la componente de peso cuesta abajo, $mg \sin \theta$ , fuera igual y opuesta a la fuerza de fricción, entonces no habría fuerza neta sobre el cilindro y, por lo tanto, el centro de masa del cilindro no estaría acelerando ( $a=0$ ).
Sin embargo, habría un momento de torsión alrededor del centro de masa y, por lo tanto, habría una aceleración angular del cilindro ( $\alpha$ ).
Por lo tanto, la condición de no deslizamiento, $a=r \alpha$ , no estaría satisfecho.

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