Dos objetos conectados por una varilla rígida, uno de los cuales sigue un camino determinado

Considere un objeto que sigue un camino determinado, con su posición dada por F ( t ) , parametrizado por tiempo. Luego considere un segundo objeto que está conectado al primero por una barra rígida de longitud yo , de modo que es libre de girar alrededor del primer objeto, pero permanece a una distancia constante de él. Dada una posición inicial del segundo objeto, X 0 , (y tal vez la velocidad inicial v 0 ), ¿cuál es la ecuación diferencial que describe la posición del segundo objeto?

Bienvenido a Physics SE :) Desafortunadamente, no somos un sitio de ayuda con la tarea, por lo que agradeceríamos mucho si mostrara algún intento de resolver la pregunta usted mismo.
Sin embargo, es una buena pregunta. Creo que la respuesta debería parecer bastante complicada, ya que este sistema tiene una holonomía no trivial: si te mueves en un bucle, puedes hacer que la barra vuelva a sí misma, excepto que gire. Entonces la solución es dependiente de la ruta.
El objeto que sigue un camino predeterminado es una especie de 'fuerza irresistible', si entiendo la pregunta. Entonces, no es una situación física real.
@Sanya ¿Estás seguro de que es una pregunta de tarea? A mí me parece mucho más una curiosidad personal.
@peterh si entiendo correctamente la aplicación de las pautas, la motivación no importa para eso, simplemente el hecho de que la pregunta está pidiendo una solución específica. Es una muy buena pregunta y no quiero juzgar su motivación.
Esta es una muy buena pregunta. No es una pregunta de "tarea" porque es demasiado complicada. Esto también se incluiría en "Dinámica de ingeniería" y requeriría bastante esfuerzo para resolverlo incluso después de que se aclare la pregunta.
Puede ser exactamente solucionable en el límite muy viscoso (cuando se puede despreciar el momento de los objetos).
@Inquisitive: la política se aplica a "tareas y ejercicios". El criterio no tiene nada que ver con la dificultad de la pregunta. Vea el comentario de sanya, también la meta publicación .

Respuestas (1)

Este es un problema amplio y complejo, así que comience con algunos supuestos simplificadores. Por ejemplo:
* el movimiento se limita a un plano;
* el primer objeto A se mueve a lo largo de una línea recta, por ejemplo, el eje x;
* el segundo objeto B es una masa puntual metro , la barra no tiene masa y A tiene masa METRO >> metro por lo que su movimiento no se ve afectado por el de B;
* no hay gravedad.

En el marco que se mueve con el objeto A, el movimiento de B se ve afectado por el de A solo si A acelera. De lo contrario, B generalmente se mueve en un círculo con velocidad constante.

Si A acelera en la dirección +x en a ( t ) entonces en el marco A una pseudo-fuerza actúa sobre B, de magnitud metro a ( t ) en la dirección -x. Si AB actualmente hace ángulo θ en el sentido de las agujas del reloj desde la dirección -x, entonces la pseudofuerza ejerce un par de torsión en sentido contrario a las agujas del reloj en B de metro a ( t ) yo pecado ⁡ θ . El momento de inercia de B con respecto a A es metro yo 2 . Entonces la ecuación de movimiento es
θ ¨ = − a ( t ) yo pecado ⁡ θ .

En el caso más simple de a ( t ) = 0 , la solución es el movimiento circular uniforme (superpuesto a la velocidad uniforme de A):
θ ( t ) = θ 0 − ω t .

Si a ( t ) = gramo , una constante, entonces la ecuación de movimiento se parece a la de un péndulo de varilla rígida que oscila bajo la acción de la gravedad:
θ ¨ = − gramo yo pecado ⁡ θ .
Excepto por restringir las oscilaciones a una amplitud pequeña, como con el péndulo simple, la solución ya es difícil y requiere una integral elíptica.

Si A realiza MAS con amplitud A y frecuencia angular Ω tal que X = − A porque ⁡ ( Ω t ) entonces a ( t ) = X ¨ = Ω 2 A porque ⁡ ( Ω t ) . Configuración A Ω 2 = gramo por conveniencia, la ecuación de movimiento es
θ ¨ = − gramo yo porque ⁡ ( Ω t ) pecado ⁡ θ .
Salvo casos especiales, esto tendría que resolverse numéricamente. Un caso especial es que B se mueve con MAS a lo largo del eje y.

Esto da una clara pista hacia la solución general. Podemos pensar en el sistema como un péndulo, ¡pero con gravedad variable! La solución es resolver la ecuación que tienes, pero con gramo un vector y variable en el tiempo.
@knzhou: no dude en publicar una solución más general en este sentido. En vista de mi última observación, estoy pensando en revisar mi enfoque.
Dos objetos conectados por una varilla rígida, uno de los cuales sigue un camino determinado
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