¿Cómo es cierto el Teorema de Chasles, que cualquier desplazamiento rígido puede producirse al trasladarse a lo largo de una línea y luego girar alrededor de la misma línea?

Tenga en cuenta que el eje del tornillo no tiene que atravesar el cuerpo. Para su ejemplo, coloque el eje de rotación paralelo al eje x directamente sobre el cilindro, luego gire el cilindro 180 ° alrededor de él. El resultado será equivalente a una rotación de 180° sobre el eje x seguida de una traslación a lo largo del eje z por el doble de la distancia desde el eje x hasta el eje de rotación. Entonces para esta composición es suficiente una sola rotación a lo largo de otro eje. Para obtener un ángulo de rotación más pequeño, mantenga el eje de rotación paralelo al eje x sobre el cilindro, pero muévalo a lo largo del eje y (hacia el fondo de la imagen). Cuanto más atrás lo mueva, menor será el ángulo de rotación necesario para volver a colocar el cilindro en el eje z por encima de su posición actual. Terminará rotado por ese mismo ángulo sobre su propio eje.

Es una observación general (de Whittaker) que la composición de una rotación y una traslación perpendicular a su eje es una rotación del mismo ángulo alrededor de un eje paralelo. Cuando los ejes de rotación y traslación no son perpendiculares, descomponemos la traslación en componentes perpendiculares y paralelas con respecto al eje de rotación. La rotación y la traslación perpendicular pueden entonces ser reemplazadas como anteriormente por una única rotación alrededor de un eje paralelo al eje de rotación. Y dado que las traslaciones a lo largo de ejes paralelos son equivalentes, la componente paralela se puede realizar a lo largo del mismo eje.

Este es el teorema de Chasles, también conocido como Mozzi. Vea la construcción detallada y la demostración matemática en Instantaneous Motion of a Rigid Body de Jackson .

Dejar$\mathbb{X}^\prime$ser la imagen del cuerpo$\mathbb{X}$(un conjunto de puntos en el espacio euclidiano) bajo una isometría euclidiana adecuada$E$. Para averiguar cómo encontrar la rotación y el desplazamiento, analizaré la transformación en general y luego reformularé la discusión general en una declaración del teorema de Chasles.

Pensando en una isometría euclidiana general adecuada

Elige cualquier punto$X_0$dentro de ese conjunto y dejar$X_0^\prime$ser su imagen bajo la transformación. Sin pérdida de generalidad, establezca el origen de nuestro sistema de coordenadas en$X_0$. Ahora hay una rotación homogénea.$R$( es decir , uno con eje a través del origen) que alinea los dos cuerpos; después de impartirles esta rotación debemos trasladarlos a través del vector$X_0^\prime-X_0$para completar toda la transformación. Llama a esta traducción$T$y luego toda la transformación es$T\,R$.

Para encontrar la rotación, elija tres vectores ortonormales definidos por combinaciones lineales (encontradas a través del proceso de Gram-Schmidt) de desplazamientos de puntos en cada cuerpo en relación con los "orígenes"$X_0,\,X_0^\prime$. Dado que, por suposición, los cuerpos son congruentes, este es el mismo proceso de Gram-Schmidt ( es decir , con los mismos coeficientes de resta en cada paso) en ambos casos. Luego, simplemente impartimos la rotación definida de manera única que mapea los tres vectores ortonormales correspondientes entre sí.

Ahora reformulando lo anterior para probar el Teorema de Chasles

Descomponer la traducción$T$arriba en los componentes únicos$T_\parallel$paralelo y$T_\perp$ortogonal al eje de rotación$R$. Tenga en cuenta que$R$viaja con$T_\parallel$, pero no con$T_\perp$. Además, el vector representado por$T_\perp$está en el plano de rotación, y la imagen de este vector debajo$R$está en el mismo plano. Así que si primero impartimos$R$, después$T_\parallel$(como requeriría el teorema de Chasles), todavía necesitamos una traducción pura adicional$T_\perp$en el plano de rotación para completar toda la transformación.

Pero ahora en lugar de un homogéneo$R$, pensamos en la misma rotación sobre un punto del eje fuera del origen. Dejar$T_3$ser cualquier traslación en el plano de rotación ( es decir , ortogonal a$T_\parallel$): entonces la rotación no homogénea alrededor del punto desplazado por$T_3$desde el origen es$T_3\,R\,T_3^{-1}$. Así que buscamos$T_3$tal que$T_\parallel\,T_3^{-1}\,R\,T_3 = T_\perp\,T_\parallel\,R \Rightarrow T_3^{-1}\,R\,T_3 = T_\perp\,R$(ya que las traducciones viajan). Con un poco de trabajo, puedes mostrar que esta es la traducción.$T_3$definido por el vector$Y$dada por$R\,Y - Y = T_\perp$, que tiene una solución única$Y_\perp$en el plano de rotación (ya que$\ker(R-\mathrm{id})$es cualquier vector a lo largo del eje de rotación). Entonces la transformación total es la rotación alrededor de un eje a través del punto desplazado$Y_\perp$de$X_0$, seguido de la traducción$T_\parallel$a lo largo del eje de rotación; también puede cambiar el orden de traslación y rotación ya que una rotación siempre conmuta con una traslación a lo largo de su eje de rotación.

Voy a demostrarles matemáticamente que el movimiento instantáneo general de un cuerpo rígido es una rotación alrededor de un eje con una traslación paralela al mismo tiempo a lo largo del eje.

Para tal eje vamos a encontrar la dirección$\mathbf{z}$, un punto C en la línea$\mathbf{r}_C$, la magnitud de la rotación$\omega$y la magnitud del movimiento lineal$v = h\, \omega$(donde el escalar$h$se llama el tono).

Comenzando con un cuerpo rígido en movimiento, colocamos un marco de coordenadas en un punto A arbitrario en el cuerpo. Medimos la velocidad lineal en A como$\mathbf{v}_A$y la velocidad de rotación del cuerpo$\boldsymbol{\omega}$. Dado que los tres componentes lineales y los tres angulares pueden leer cualquier valor, representan 6 grados de libertad del cuerpo rígido.

Descomposición

Ahora encontramos la geometría del movimiento calculando las siguientes 6 cantidades independientes:

• Magnitud de rotación (1 cantidad) $$\omega = \| \boldsymbol{\omega} \|$$
• Sentido de giro (2 cantidades) $$\mathbf{z} = \frac{\boldsymbol{\omega}}{\omega}$$
• Punto C en el eje de rotación más cercano a nuestro marco de coordenadas punto A (2 cantidades) $$\mathbf{r}_C = \frac{\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_A }{\omega^2}$$
• Paso de movimiento (1 cantidad) $$\frac{v}{\omega} = h = \frac{ \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{v}_A}{\omega^2}$$

_{NOTA:$\cdot$es el producto escalar vectorial y$\times$el producto cruz vectorial}

Composición

Dadas las propiedades$\omega$,$\mathbf{z}$,$\mathbf{r}_C$y$h$Reconstruiré la velocidad lineal y angular del cuerpo rígido de forma única.

• Velocidad de rotación (3 cantidades) $$\boldsymbol{\omega} = \omega \, \mathbf{z}$$
• Velocidad lineal en A (3 cantidades) $$\mathbf{v}_A = \omega \left( \mathbf{r}_C \times \mathbf{z} + h\,\mathbf{z} \right) = \mathbf{r}_C \times \boldsymbol{\omega} + h\,\boldsymbol{\omega}$$

Prueba

La última expresión se prueba desarrollando las siguientes expresiones

$\require{cancel}$

$$\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{v}_A = \boldsymbol{\omega} \cdot \left( \mathbf{r}_C \times \boldsymbol{\omega} + h\,\boldsymbol{\omega} \right) = \cancel{\boldsymbol{\omega} \cdot \left( \mathbf{r}_C \times \boldsymbol{\omega} \right)} + h \left( \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} \right) = h \, \omega^2$$

$$\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_A = \boldsymbol{\omega} \times \left( \mathbf{r}_C \times \boldsymbol{\omega} + h\,\boldsymbol{\omega} \right) = \boldsymbol{\omega} \times \left( \mathbf{r}_C \times \boldsymbol{\omega} \right) = \mathbf{r}_C \,\left( \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} \right) - \boldsymbol{\omega}\, \cancel{ \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_C \right) } = \mathbf{r}_C \, \omega^2$$

Las dos ecuaciones anteriores se resuelven para$h$y$\mathbf{r}_C$para dar las expresiones de descomposición. La unicidad se establece por el hecho de que comienza con 6 parámetros de movimiento independientes que se asignan a otro conjunto de 6 parámetros de movimiento independientes que tienen interpretación geométrica (dirección, ubicación, tono y magnitud). Este es un mapeo uno a uno.

ACTUALIZACIÓN: creé una página aquí que ha mejorado las ilustraciones, las descripciones y agrega las matemáticas vectoriales asociadas. No solo eso, alargué la discusión para incluir la adición de desplazamientos de tornillo sucesivos (es decir, el teorema de Halphen, "triángulo de tornillo").

Nota: Omitiré los casos simples en los que el cuerpo se desplaza por traslación sin un cambio de orientación.

Para un desplazamiento general de un cuerpo rígido en el espacio 3D, debe rastrear la posición de al menos tres puntos no colineales fijos en ese cuerpo. Primero, traslade este cuerpo sin cambiar su orientación desde su posición inicial a una posición intermedia que superpone uno de esos tres puntos que está rastreando a su ubicación final. Llamemos a estos puntos intermedios A, B y O, los puntos finales A', B' y O' y superpondremos O en O'. Ahora tiene dos configuraciones de ese cuerpo, una en su orientación original pero en una posición diferente y la otra en su configuración final.

Ahora imagine una línea R a través de O' que actúa como un eje para rotar A alrededor de A'. Cualquier línea que se encuentra en el plano X que biseca perpendicularmente al segmento AA' del triángulo AO'A' intersecará a O' y puede ser R. Los ángulos AO'R y A'O'R son iguales y algún ángel asociado Φ de desplazamiento se mueve A a A'. Estos tres ángulos tendrán valores que dependen de la orientación de R que se utilice. Sin embargo, cualquier desplazamiento rotacional Φ, no moverá el punto B para coincidir con B'. Utilice un segundo plano Y que biseque perpendicularmente al segmento BB' del triángulo BO'B' y también debe intersecar a O'. Asimismo, los ángulos BO'R y B'O'R son iguales. El plano Y contendrá todos los ejes que pueden rotar B a B'. Entonces, la intersección de estos dos planos bisectores X e Y da la línea R común a ambos en la orientación necesaria para relacionar los segmentos O'A y O'B exactamente de la misma manera que se relaciona con los segmentos O'A' y O'B. '. Asimismo, los ángulos AO'R y BO'R son respectivamente iguales a los ángulos A'O'R y B'O'R. La figura O'ABR se puede rotar alrededor de R para que los segmentos O'A y O'B entren en las posiciones de O'A' y O'B' respectivamente, con R conservando su posición sin cambios. Por lo tanto, una rotación alrededor de R proporciona el desplazamiento necesario. ABR se puede rotar alrededor de R para que los segmentos O'A y O'B entren en las posiciones de O'A' y O'B' respectivamente con R conservando su posición sin cambios. Por lo tanto, una rotación alrededor de R proporciona el desplazamiento necesario. ABR se puede rotar alrededor de R para que los segmentos O'A y O'B entren en las posiciones de O'A' y O'B' respectivamente con R conservando su posición sin cambios. Por lo tanto, una rotación alrededor de R proporciona el desplazamiento necesario.

Después de encontrar la orientación de R, con el cuerpo nuevamente en su configuración inicial, traslade el cuerpo en una dirección paralela con R a una posición intermedia, trayendo el punto O a la perpendicular desde O' en R. Ahora tenemos el caso donde el desplazamiento de un cuerpo rígido 3D está restringida al movimiento plano 2D y todos los puntos del cuerpo se mueven en planos paralelos.

Para obtener una descripción completa de estos desplazamientos 2D, debe rastrear la posición de al menos dos puntos fijos en el cuerpo, digamos los puntos A y B. Cualquier desplazamiento de estos dos puntos o del segmento AB para superponer el segmento A'B' puede hacerse mediante una sola rotación alrededor de una línea S perpendicular al plano de movimiento. Mostrar esto es básicamente lo mismo que antes, excepto que ahora sabemos la orientación de S pero necesitamos encontrar su posición. Dos planos V y W, perpendiculares al plano de movimiento, bisecan los segmentos AA' y BB' respectivamente y se intersecan en una línea S. Sean perpendiculares desde el punto E en S que intersecan A y A', y las perpendiculares desde F en S intersecan a B y B'. Segmentos EA = EA', FB = FB', AB = A'B'. Así que la figura AEFB es la misma que la figura A'EFB' y la rotación de AEFB alrededor de S lo lleva a la misma orientación que A'EFB'. Como A se mueve a A', entonces B también debe moverse a B'. Así, la línea S es el eje del tornillo.