El campo debe ser perfecto o característico p

Declaración del problema: campo dado F , si para cualquier extensión de campo METRO / F , [ METRO : F ] es divisible por un primo fijo pag , muestra esa F es perfecto o tiene características pag .

Anteriormente en esta pregunta, el grado de extensión debe ser potencia de primo , veo que [ k : F ] es un poder de pag a través del cierre de Galois. También sé que los polinomios irreducibles pero inseparables deben tener cierta forma. Pero, ¿es posible continuar desde aquí sin la noción de cierre separable?

Cualquier campo de característica 0 es perfecto.
@MartinSkilleter ¿Eh? Eso no parece ser una pista?
Considere su campo F . Tiene característica 0 o característica pag . Use mi comentario anterior para concluir.
@MartinSkilleter No. No es tan simple. Es posible que desee volver a leer la pregunta ... ¿Por qué tiene que ser pag ?
Mis disculpas, tienes razón. Extrañé que los dos números primos estaban destinados a ser iguales.
Bueno está bien, supongamos que F no tiene característica pag y demostrar que debe ser perfecto. Si C h a r ( F ) = 0 entonces como dije antes, hemos terminado, por lo que podemos suponer que C h a r ( F ) = q por alguna prima q ≠ pag .

Respuestas (1)

Suponer que F no es perfecto; entonces nosotros tenemos q := carbonizarse ⁡ F > 0 , y existe un elemento α ∈ F eso no es un q -ésima potencia. Ahora el polinomio X q − α es irreductible en F , entonces el anillo mi := F [ X ] / ⟨ X q − α ⟩ es una extensión de campo de F de grado q . Por otro lado, por las hipótesis del problema, [ mi : F ] también debe ser divisible por pag , entonces esto obliga q = pag , como se desee.

¿Por qué existe un α eso no es un q ¿E-poder?
@SmoothKen oh, disculpas, esa es la definición de un campo perfecto que uso :) (es decir, un campo es perfecto si su característica es 0 o su característica es pag > 0 y cada elemento de ella es un pag -ésima potencia.) ... ¿con qué caracterización estás familiarizado?
perfecto si y solo si char 0 o Frobenius es sobreyectivo, lo que significa imperfecto y char > 0 implica que Frobenius no es sobreyectivo... Veo tu magia...
¡precisamente! :)
El campo debe ser perfecto o característico p
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