¿Por qué el autor escribió una prueba tan larga? ¿Alguna razón razonable? ("Álgebra Superior" por A. Kurosh)

Estoy leyendo "Álgebra superior" de A. Kurosh.

Que se dé en el campo$P$un subcampo$P^{'}$y un elemento$c$exteriores a$P^{'}$y supongamos que tenemos un subcampo mínimo$P^{''}$de$P$que contiene ambos$P^{'}$y$c$. Solo puede haber un subcampo mínimo de este tipo, ya que si$P^{'''}$fuera un subcampo más con estas propiedades, entonces la intersección de los subcampos$P^{''}$y$P^{'''}$(es decir, la colección de elementos comunes a ambos campos) contendría$P^{'}$y el elemento$c$y, junto con dos cualesquiera de sus elementos, contendría su suma (esta suma debe estar tanto en$P^{''}$y en$P^{'''}$, y así también en su intersección) y así mismo su producto, diferencia y cociente; en otras palabras, la intersección en sí misma sería un subcampo, pero esto contradice la minimalidad del subcampo$P^{''}$. Diremos que el campo$P^{''}$se obtiene al unir un elemento$c$Al campo$P^{'}$; simbólicamente, escribimos$P^{''}=P^{'}(c)$.

El autor no definió qué subcampo mínimo de$P$que contiene ambos$P^{'}$y$c$es.
Supongo que un subcampo$P^{''}$de$P$es un subcampo mínimo de$P$que contiene ambos$P^{'}$y$c$si y solo si para cualquier subcampo$P^{'''}$de$P$que contiene ambos$P^{'}$y$c$,$P^{''}\subset P^{'''}$sostiene
Si adoptamos esta definición, entonces creo que la unicidad de un subcampo mínimo de$P$que contiene ambos$P^{'}$y$c$es obvio.

¿Por qué el autor escribió una prueba tan larga?
¿Alguna razón razonable?

Por cierto, cuando demostramos la existencia de tal subcampo mínimo, creo que necesitamos el argumento similar que escribió el autor para la unicidad de un subcampo mínimo.