Dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones de Einstein

La relatividad numérica comenzó a mediados de la década de 1960 y tuvo un gran avance en 2005. El observatorio de ondas gravitacionales LIGO había comenzado a recopilar datos en 2002, por lo que hubo un fuerte impulso para poder hacer coincidir las simulaciones teóricas de la fusión de agujeros negros con las observaciones. Esto valió la pena en 2016 cuando LIGO hizo su primera detección.

Las ecuaciones de Einstein son diez ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden acopladas, no lineales, en cuatro dimensiones... ¡un desafío computacional formidable!

El primer problema fueron las limitaciones de hardware. Todavía en 1995, los físicos ni siquiera podían resolver numéricamente las ecuaciones de la métrica de Schwarzschild simple, analíticamente conocida y esféricamente simétrica, debido a las complicaciones de tratar con la singularidad. Las supercomputadoras de esa época no tenían suficiente memoria y poder de cómputo para realizar cálculos precisos de espaciotiempos 3D.

En una situación sin simetría espacial, la cantidad de puntos de cuadrícula 3D en las ecuaciones discretizadas es enorme si desea tener una resolución decente. Pero en unos pocos años, se avanzó en las colisiones frontales de agujeros negros, explotando la simetría cilíndrica. Finalmente, el hardware llegó al punto en que ya no era el cuello de botella, incluso en situaciones en las que no se podía aprovechar la simetría. Pero hubo que superar una larga serie de otros desafíos computacionales.

El primero fue formular las ecuaciones de una manera que las convirtiera en un problema inicial de valores en la frontera bien planteado con una estabilidad numérica satisfactoria. El formalismo "3+1" de Arnowitt-Deser-Misner (ADM) ha existido desde 1959. Este es un enfoque hamiltoniano en el que el espacio-tiempo se folia en rebanadas 3D similares al espacio, cada una con su propia curvatura métrica 3D interna y extrínseca, que evolucionan a tiempo. Reduce las ecuaciones de Einstein a doce ecuaciones de evolución de primer orden en el tiempo acopladas (seis para la 3-métrica, seis para la curvatura extrínseca), más cuatro ecuaciones de restricción. Este formalismo era adecuado para hacer evolucionar numéricamente un segmento de espacio-tiempo inicial hacia adelante en el tiempo, pero evitar que se acumularan errores numéricos era problemático porque las ecuaciones eran solo "débilmente hiperbólicas".

El formalismo Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN), desarrollado entre 1987 y 1999, superó este problema al reformular las ecuaciones ADM para hacerlas "fuertemente hiperbólicas", una condición que mejora mucho la estabilidad numérica.

Luego, dado que la relatividad general es una teoría de calibre, otro desafío fue la cuestión de cuál de los diversos calibres posibles era el mejor para hacer los cálculos. Resultó ser muy poco trivial encontrar condiciones de calibre que aseguraran evoluciones numéricamente estables, pero finalmente una familia de calibres denominada calibre armónico generalizado (GEI) demostró ser adecuada.

La cuestión de formular datos apropiados para las condiciones iniciales fue difícil. Los datos iniciales no solo debían ser físicamente correctos, por ejemplo, para describir dos agujeros negros en órbita, cada uno con giro, sino que también debían satisfacer las cuatro ecuaciones de restricción.

Tratar con las condiciones de contorno espacial en el infinito fue otro obstáculo. Lejos de los dos agujeros negros, el espacio-tiempo debe tomar la forma de radiación gravitatoria saliente. La solución numérica debe asegurar que no haya radiación gravitatoria proveniente del infinito.

El refinamiento de la malla resultó ser necesario para manejar las diversas escalas de distancia que tienen los agujeros negros, desde su horizonte hasta la zona de onda. Y este refinamiento de malla tuvo que implementarse de una manera que pudiera paralelizarse en múltiples procesadores.

La extracción de resultados físicos, como formas de onda de ondas gravitatorias, de una manera invariable de calibre de la simulación numérica no fue trivial.

Tratar con la singularidad de cada agujero y del agujero fusionado fue un problema importante. Se desarrollaron dos técnicas diferentes. En la técnica de "escisión", propuesta a fines de la década de 1990, una región alrededor de la singularidad, pero dentro del horizonte, simplemente no evoluciona, ya que nada de lo que sucede dentro del agujero puede afectar el exterior.

La segunda técnica, llamada "método de punción", dividió la solución en una parte analítica que contenía la singularidad y una parte construida numéricamente que no tenía singularidad. Pero al principio, el pinchazo que contenía la singularidad permaneció en coordenadas fijas incluso cuando los agujeros se movían, lo que provocó que el sistema de coordenadas se estirara y deformara hasta el punto de que surgieron inestabilidades numéricas.

El gran avance de 2005 fue permitir que los pinchazos se movieran a través del sistema de coordenadas para controlar las inestabilidades numéricas. Después de ese punto, los espacios-tiempos para la fusión de agujeros negros podrían simularse con precisión.

¡Cuarenta años de arduo trabajo habían llevado al campo de la relatividad numérica a la madurez!

Esta publicación se basó en dos fuentes: "Relatividad numérica" ​​( https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_relativity ) y "El avance de la relatividad numérica para agujeros negros binarios" ( https://arxiv.org/abs/1411.3997 ) ).