Derivada funcional igual a la función delta de Dirac QFT

Matt está tratando de ayudarlo omitiendo el símbolo δ de la variación de derivada funcional, combinándolo con derivadas parciales ordinarias, pero termina confundiéndolo, aunque su redacción es muy clara; no funcionó

Primero piensa en un número finito de x s:$x_1,x_2,x_3,...$. Entonces, en consecuencia, tiene un vector de dimensión finita con n componentes independientes,$(J(x_1),J(x_2),J(x_3), ...,J(x_n))$.

Ahora,

$$J(x_i)=\sum_k \delta_{ki} J(x_k) \qquad \leadsto \\ {\partial J(x_i)\over \partial J(x_j)} = \delta_{ji}~.$$ Transcribiendo esto para$n\to \infty$, se obtiene la generalización obvia $$J(x)=\int \!\!dz~~\delta(x-z) ~J(z) \qquad \leadsto \\ {\delta J(x)\over \delta J(y)} = \delta(x-y)~.$$

Ya te extraviaste en tu segunda fórmula.

Mutatis mutandis hacer ejercicio

$${\delta \int\!\!dz~ J(z) \phi(z)\over \delta J(y)} = \phi(y)~.$$

Para probar la identidad, debe decidir qué definición de derivada funcional usar, y eso depende de qué objeto matemático sea el campo.

Por lo general, el campo se toma como una función suave (una función que decrece rápidamente, por ejemplo), sin embargo, esto hace que las cosas sean un poco más complicadas cuando se habla de derivadas funcionales (se debe usar la llamada derivada de Gateaux).

Un ejemplo más sencillo lo dan las funciones en un espacio normado (p. ej., en algún espacio de Lebesgue). En este caso, existe la definición conveniente de derivado de Fréchet. Entonces deja$U$ser un espacio normado, y$f:U\to U$una función (los dos espacios pueden tomarse como diferentes, sin embargo, no es crucial para la comprensión aquí). El derivado de Fréchet$Df(u)$de$f$en un punto$u\in U$es el operador lineal$T$, si tal operador lineal existe, de$U$a$U$tal que para cualquier$h\in U$,$h\to 0$,

$$f(u+h)= f(u) + Th + o(h)$$ dónde$o(h)$significa algo "que va a cero más rápido que h", es decir $$\lVert o(h)\rVert_U / \lVert h\rVert_U \to 0$$ como$h\to 0$.

Así que ahora, toma la función de identidad$\mathrm{id}:U\to U$, actuando como

$$\mathrm{id}(u)=u\;.$$ ¿Cuál es la derivada de Fréchet, en cualquier punto, de la función identidad? La función de identidad en sí misma, por supuesto (que es un operador lineal), por la identidad trivial $$u+h=\mathrm{id}(u+h)=\mathrm{id}(u) + \mathrm{id}(h)\;.$$

Entonces,$D\mathrm{id}= \mathrm{id}$(dado que es cierto en cualquier punto, nos olvidamos de especificar uno como en los derivados habituales).

Los físicos prefieren escribir la derivada funcional escribiendo el núcleo integral del operador lineal definido por la derivada de Fréchet. Entonces, la notación

$$Df=T$$ es reemplazado por $$\frac{\delta f(u(x))}{\delta u(y)}=t(x-y)\; ,$$ dónde$t(x-y)$es el núcleo integral del operador lineal$T$satisfactorio $$(Tu)(x)=\int t(x-y) u(y)\;.$$ En general, el núcleo integral podría ser una distribución. Ahora, el núcleo integral del operador de identidad$\mathrm{id}$es de hecho$\delta(x-y)$; por lo tanto, por el resultado anterior tenemos que $$\frac{\delta u(x)}{\delta u(y)}=\delta(x-y)\; .$$