Diferencia entre las "funciones" en cálculo y las "funciones" en Transformaciones Lineales

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Diferencia entre las "funciones" en cálculo y las "funciones" en Transformaciones Lineales

cálculo
funciones
Matemáticas
álgebra lineal
funciones gráficas
transformaciones lineales

Shashank

La palabra función en cálculo se refiere a algo como $f(x) = x^2+2x^3$ o $f(x) =\sin(x)$ etc....

En álgebra lineal, la palabra función se usa como: Una transformación lineal es una función de $V \rightarrow W$ .

Y las funciones del cálculo como $f(x) = x^2+2x^3$ o $f(x) =\sin(x)$ etc. son en realidad vectores en un espacio polinomial ( $f(x) = x^2+2x^3$ ) o un espacio de funciones (como $f(x) =\sin(x)$ ) .

Ahora la palabra función en álgebra lineal se usa dos veces como mostré arriba.

Entonces, según yo, las funciones del cálculo son solo vectores en álgebra lineal. ¿Es esto correcto o no?

Pero entonces, ¿cuáles son las funciones que se utilizan en la definición de transformaciones lineales? Y en qué se diferencian de las funciones de cálculo y las funciones que son vectores en álgebra lineal.

Editar:

¿Por qué la gráfica de una transformación lineal de cualquier espacio vectorial a cualquier otro espacio vectorial no siempre es una línea recta? ¿Alguien puede dar algún contraejemplo?

jair taylor

Algunos conjuntos de funciones se pueden convertir en espacios vectoriales, por lo que en ese contexto son vectores. Pero en general, no pensamos en las funciones como vectores. Por otro lado, las transformaciones lineales son siempre funciones por definición.

jair taylor

En general, para un solo definido

x

$x$ sin contexto de un conjunto más grande, no tiene sentido decir "es

x

$x$ un vector?" Puedes hacer cualquier

x

$x$ en un vector construyendo un conjunto

S

$S$ que contiene

x

$x$ de modo que

S

$S$ es un espacio vectorial (como el espacio vectorial libre sobre

{x}

$\{x\}$ ).

Respuestas (3)

Diferencia entre las "funciones" en cálculo y las "funciones" en Transformaciones Lineales

Algunos conjuntos de funciones se pueden convertir en espacios vectoriales, por lo que en ese contexto son vectores. Pero en general, no pensamos en las funciones como vectores. Por otro lado, las transformaciones lineales son siempre funciones por definición.
En general, para un solo definido $x$ sin contexto de un conjunto más grande, no tiene sentido decir "es $x$ un vector?" Puedes hacer cualquier $x$ en un vector construyendo un conjunto $S$ que contiene $x$ de modo que $S$ es un espacio vectorial (como el espacio vectorial libre sobre $\{x\}$ ).

análisis_complejo1s · Answer 1

análisis_complejo1s

Una función se define como una relación entre dos conjuntos que asigna un elemento de un conjunto exactamente a uno del otro conjunto. por tu ejemplo $f(x) = x^{2} + 2x^{3}$ , el elemento $x$ en el dominio se asigna al elemento codominio $x^{2} + 2x^{3}$ .

En su ejemplo de álgebra lineal, su dominio se denota $V$ y su codominio se denota $W$ .

Una transformación lineal es un tipo específico de función donde se requiere una restricción adicional: $f(cx + y) = cf(x) + f(y)$ . Ambos son ejemplos de funciones, pero esta restricción impuesta a los mapas lineales puede o no ser válida para las funciones en general.

Las transformaciones lineales se pueden graficar pero comúnmente se grafican como campos vectoriales; un gráfico de transformación lineal no se parecería a la típica función uno a uno del cálculo.

Shashank

Entonces, la "función" utilizada en la transformación lineal es la misma que la función

y = a x + b

$y=ax+b$ usado en cálculo y solo igual o análogo solo a esto ...

análisis_complejo1s

No necesariamente.

f (x) = m x + b

$f(x) = mx + b$ es una función que toma entradas unidimensionales (

x

$x$ ) y se asigna a una línea en

R^{2}

$\mathbb{R}^{2}$ . Una transformación lineal asigna vectores que tienen una dimensión mayor que uno a algún codominio.

jair taylor

f (x) = m x + b

$f(x) = mx+b$ no es una transformación lineal a menos que

b = 0

$b=0$ . Si

b \neq 0

$b\neq 0$ lo llamamos una "transformación afín". Desafortunadamente, la definición de "lineal" en álgebra lineal no corresponde a funciones cuya gráfica es una línea recta, lo que puede causar confusión.

Shashank

@complex_analys1s Entonces, si b=0, entonces es una transformación lineal. ¿Podría decir entre qué dos espacios vectoriales exactos es una transformación lineal? ¿Es una transformación lineal de

R

$R$ a

R^{2}

$R^2$ . ¿No es extraño que sea tanto una transformación lineal como un vector?

Shashank

@JairTaylor ¿Puede dar un ejemplo por favor o agregar una respuesta que contenga el ejemplo? Estaba pensando que la gráfica de una transformación lineal siempre será una línea recta. Pensé que entendía precisamente esto de lo que escribió Hoffman Kunz en el capítulo 3. ¿Puede dar algunos ejemplos o una respuesta de por qué los gráficos de transformaciones lineales no son necesariamente una línea recta?

análisis_complejo1s

@Shashaank en este caso si

b = 0

$b=0$ entonces

f (x)

$f(x)$ es simplemente una escala de la

x

$x$ elemento por

m

$m$ .

f (x) = m x + b

$f(x) = mx + b$ no es una transformación lineal en el contexto de los vectores porque un vector normalmente tiene más de una dimensión y, por lo tanto, la "transformación" tendrá una representación matricial.

jair taylor

@Shashaank El gráfico de una transformación lineal.

R \to R

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es siempre una línea recta, ya que será de la forma

f (x) = m x

$f(x) = mx$ . Pero la conversación no es verdadera.

f (x) = m x + b

$f(x) = mx + b$ no es una transformación lineal para

b \neq 0

$b \neq 0$ .

jair taylor

@complex_analys1s No, no es la dimensionalidad. Es solo que una transformación lineal debe satisfacer

T (0) = 0

$T(0) = 0$ .

f (x) = m x

$f(x) = mx$ es una transformación lineal

R \to R

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .

Shashank

@JairTaylor Ok, gracias, entendí esto. Así que desde

f (x) = m x

$f(x)= mx$ es una transformación lineal

f (x) : R \to R, i s n^{'} t t h e f a c t t h a t

$f(x) : R\rightarrow R, isn't the fact that$ f(x)= mx$ también resulta ser un elemento de un espacio vectorial (digamos espacio polinomial o espacio funcional) extraño. ¿No es extraño en el sentido de que lo mismo es una transformación lineal que un elemento de un espacio vectorial?

jair taylor

No es particularmente extraño. En matemáticas, cualquier objeto dado se puede ver de muchas maneras.

Shashank

@JairTaylor Vale, gracias.

Johnny El Curva · Answer 2

La respuesta corta es: ¡El contexto importa!

La palabra "función" aparece en muchas (si no todas) diferentes ramas de las matemáticas, donde la cualidad que tienen en común es que una función $f\colon X\to Y$ es un mapeo entre conjuntos.

En Cálculo, a menudo pensamos en funciones como mapeos de un subconjunto de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ que cumplen alguna condición de regularidad (continua, diferenciable, analítica, medible, integrable...), ya veces asumimos implícitamente que la función de la que hablamos tiene esas propiedades deseadas.

En Álgebra Lineal, las "funciones" que consideramos son mapas lineales de un espacio vectorial $V$ a otro espacio vectorial $W$ . Entonces, en muchos casos, si alguna declaración comienza con "Let $f\colon V\to W$ ser una función", por lo general significa un mapeo lineal.

En topología, una función $f\colon X\to Y$ generalmente significa un mapeo continuo entre dos espacios.

En cuanto a lo que dijiste: sí, es cierto que las funciones $f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son vectores abstractos de algún espacio!

Entonces, para resumir: una función es un mapeo entre conjuntos, pero dependiendo del contexto, se puede requerir que ese mapeo tenga algunas propiedades adicionales.

Como nota al margen, a algunas personas les gusta reservar el concepto "función" para asignaciones con codominio $\mathbb{R}$ (o un campo en general) y llamar a todo lo demás "mapa". Entonces una transformación lineal $f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ se conoce como una función, y una transformación lineal $f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$ puede llamarse simplemente un mapa.

Edito: di que tienes $y=ax+b$ , dónde $a$ y $b$ son números reales. Esa ecuación define un mapa $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=ax+b$ . Este mapa es una "función" en el sentido de cálculo (y tiene prácticamente todas las propiedades que le gustaría). También es un mapa entre espacios vectoriales, pero puede no ser lineal (si $b\neq 0$ no lo es), por lo que no se consideraría una "función interesante" entre espacios vectoriales (es un mapa afín, para ser exactos).

Aún así, es un vector de muchos espacios vectoriales: por ejemplo, está en los siguientes espacios:

V = {Polinomios en una variable}

$V=\{\text{Polynomials in one variable}\}$

W = {Asignaciones de R a sí mismo}

$W=\{\text{Mappings from } \mathbb{R} \text{ to itself}\}$

F = {Afine mapas de R a sí mismo}

$F=\{\text{Affine maps from }\mathbb{R}\text{ to itself}\}$

Pero entonces es $y= ax+b$ una función en el sentido de cálculo o un vector en el sentido de álgebra lineal o es una transformación lineal. Tengo tus puntos. Este ejemplo particular aclarará todos los puntos. Por favor incluya esta su respuesta también, la aceptaré.
Gracias entendí tu punto. Lo he votado por los ejemplos que has dado. Sólo una cosa. si en $y=mx+b$ $b=0$ , entonces es una transformación lineal. Si es así, por favor hágame saber entre CUALES espacios vectoriales es una transformación lineal. Y si es una transformación lineal, entonces se comporta tanto como una transformación lineal como un vector. ¿Pueden las funciones ser tanto una transformación lineal como un vector? ¿Podría por favor decirme estos 2 puntos? Terminará por completo mi duda y aceptaré la respuesta.
Quiero decir, ¿no es un poco extraño que una función se comporte tanto como un vector como una transformación lineal entre dos espacios vectoriales (si son ambos)? Por favor, hágamelo saber estos 2 puntos.
con respecto a la primera parte 1 quise decir si es una función de R a $R^2$ o lo que escribiste de otra manera. Y en los comentarios anteriores, Jair Taylor dice que la gráfica de una transformación lineal no siempre es una línea recta. ¿Podría dar un ejemplo? Porque pensé que siempre tenía que ser así y entendí esto solo por lo que Hoffman Kunz dijo sobre esto en el capítulo 3. ¿Podría dar ejemplos en contra si está mal?
podrías aclarar ese punto una función $y= mx$ se comporta tanto como un vector como una transformación lineal. Es eso correcto. ¿Puede una función ser tanto un vector (un elemento de un espacio vectorial) como una transformación lineal?
Son ambas cosas, pero dependiendo de lo que estés haciendo, tal vez sea más conveniente ver $y=mx$ como un vector o como una transformación lineal.

zkutch · Answer 3

Generalmente funcionan $f=(F,A,B)$ se define por triple, donde $A$ , $B$ son conjuntos, $F$ es grafo funcional y dominio $pr_1F=A$ .

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