Diferencia entre distancia y norma.

Primero, es importante tener en cuenta que los "vectores de desplazamiento", que uno podría interpretar como que comienzan en un punto del espacio-tiempo y terminan en otro, son un concepto generalmente insostenible si el espacio-tiempo en cuestión posee curvatura. Cuando uno da el salto de la relatividad especial a la relatividad general, entonces es necesario prescindir de ellos, y tiene cierto mérito la opinión de que esto debería hacerse más temprano que tarde. Sin embargo, el espacio-tiempo plano de Minkowski puede considerarse como un espacio afín , por lo que esta pregunta puede responderse en ese contexto.

Entonces, ¿por qué uno, la norma, es invariable mientras que el otro, la distancia, no lo es?

Tu error está en confundir el espacio con el espacio- tiempo . Los puntos en el espacio-tiempo de Minkowski son eventos , no solo posiciones. La norma de un vector de desplazamiento proporciona una noción de distancia$^\dagger$entre eventos, no puntos en el espacio; por ejemplo, uno podría medir la distancia espacio-temporal entre los eventos "un petardo estalla en el lado izquierdo de mi escritorio" y "la puerta de la oficina de mi vecino se cierra de golpe". En general, esto no es lo mismo que la distancia espacial entre el lado izquierdo de mi escritorio y la puerta de la oficina de mi vecino.

Señalando que$\Delta s^2:= -c^2\Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2$, esta distancia de espacio- tiempo corresponde a la distancia física entre el lado izquierdo de mi escritorio y la puerta de la oficina de mi vecino si y solo si $\Delta t$=0; es decir, la distancia espaciotemporal coincide con la distancia espacial si los dos eventos en cuestión son simultáneos.

Aquí es donde entra en juego la relatividad de la simultaneidad. Si Alice observa que dos eventos son simultáneos, Bob (que se mueve con respecto a Alice) generalmente no lo hará. Como resultado, para Alice la distancia espaciotemporal entre los eventos y la distancia espacial entre las posiciones en las que ocurren serán las mismas, mientras que para Bob no será lo mismo. Pero como ambos observadores están de acuerdo en la distancia espaciotemporal entre los eventos, necesariamente deben estar en desacuerdo en la distancia espacial entre las posiciones.

$^\dagger$Realmente más de una pseudo distancia. Por lo general, requerimos que las distancias sean semidefinidas positivas, lo que significa que siempre deben ser mayores o iguales que cero, y si la distancia entre dos puntos es cero, entonces son el mismo punto. Esto se relaja en relatividad porque la métrica de Minkowski no es semidefinida positiva, sino solo no degenerada; el conjunto de eventos a una "distancia" de espacio-tiempo cero de un evento específico$p$se llama el cono de luz de$p$.

En la relatividad especial, diferentes observadores miden la longitud de los objetos de manera diferente, dependiendo de sus respectivas velocidades.

No: considerando un objeto particular cuyos (dos) extremos, digamos$A$y$B$, permanecer separados y en reposo wrt. entre sí, a estos dos se les puede atribuir un valor particular de distancia (distinto de cero) wrt. otro para empezar, entonces dos miembros de algún sistema inercial particular, digamos$P$y$Q$, que se identifican por una proyección de simultaneidad de$A$, y de$B$resp., en este sistema inercial tienen distancia

donde por supuesto

tal que$AB \lt PQ$y donde$\beta_{PQ}[ \, A \, ]$denota la relación de la velocidad (constante) de$A$wrt.$P$y$Q$(y todos los miembros de su sistema inercial conjunto) a la "velocidad de la luz en el vacío" (velocidad frontal de la señal), y así sucesivamente.

El valor del resultado que$P$y$Q$determinaría para su medida de la longitud del objeto dado es por lo tanto$PQ / \sqrt{ 1 - (\beta_{PQ}[ \, A \, ])^2 }$; es decir, en cualquier caso (igual a) el valor de la distancia$AB$, independientemente del valor específico de$(\beta_{PQ}[ \, A \, ])^2$.

Sin embargo, todos los observadores están de acuerdo en el producto interno invariante de dos vectores (es decir, 4 vectores).

Sí. Por lo tanto también: todos los observadores están de acuerdo con la norma (también conocida como "magnitud") de cualquier vector de 4 dados; sobre la base de su comprensión y acuerdo compartido sobre cómo se determinarán los valores de esta norma.

Por ejemplo: considerando dos eventos (separados como espacios),$\varepsilon_{AJ}$(identificado como evento de coincidencia de$A$y otro participante adecuado$J$) y$\varepsilon_{BK}$(identificado como evento de coincidencia de$B$y otro participante adecuado$K$) especificado tal que$A$'s indicación de haber cumplido y pasado$J$fue simultáneo a$B$'s indicación de haber cumplido y pasado$J$, entonces la magnitud del 4-vector de espacio-tiempo$\overset{\Large \longrightarrow}{\varepsilon_{AJ} \, \varepsilon_{BK} }$se le asigna el valor de la distancia$AB$.

O del mismo modo: la magnitud del 4-vector de espacio-tiempo$\overset{\Large\longrightarrow}{\varepsilon_{AP} \, \varepsilon_{BQ} }$, que se especifican de tal manera que$P$'s indicación de haber cumplido y pasado$A$fue simultáneo a$Q$'s indicación de haber cumplido y pasado$B$, se le asigna el valor de distancia$PQ$.

Entonces, ¿por qué uno, la norma, es invariable mientras que el otro, la distancia, no lo es?

La supuesta distinción no corresponde para empezar: todos los observadores están de acuerdo en la distancia entre dos extremos particulares (que permanecen en reposo uno contra el otro); del mismo modo que todos los observadores están de acuerdo en la norma de un cuadrivector dado, o en el producto escalar de dos cuatrivectores dados.

Sin embargo: cualquier 4-vector dado tiene diferentes descomposiciones wrt. diferentes sistemas de base (ortogonal) 4-vectores. En consecuencia, cualquier descomposición y especialmente las magnitudes de los 4 vectores ortogonales correspondientes (cuya suma es igual al 4 vector dado) generalmente difieren para diferentes elecciones de bases.