¿Por qué la ubicación GPS no se calcula a partir de la métrica de Schwarzschild?

El GPS utiliza la fórmula de propagación de la luz en el espacio plano para calcular la distancia desde la fuente (el satélite) hasta el receptor (el observador en la Tierra):

d = C ⋅ Δ t
dónde C es la velocidad de la luz en el vacío de Minkowski, Δ t es la diferencia entre los tiempos de emisión y absorción de la señal ( corregida por dilataciones de tiempo relativistas ) y d es la distancia euclidiana. Esta fórmula se alimenta con los datos transmitidos desde 4 satélites para resolver la ubicación del receptor.

Mis preguntas son : ¿cuál es la razón para usar esta fórmula? ¿No debería calcularse la distancia en la configuración de geometría curva, por ejemplo, utilizando la métrica de Schwarzschild? ¿Cuáles son los errores al usar la versión euclidiana? d = C ⋅ Δ t ?

NB: La diferencia horaria Δ t contiene correcciones relativistas a los tiempos . Sin embargo, no me queda claro por qué es correcto usar la fórmula del espacio plano (Minkowski) para la propagación de la luz con solo el valor de Δ t modificada para tener en cuenta la gravedad.

Por favor, trate de ser lo más claro posible y respalde sus afirmaciones con cálculos/derivaciones.

ADDENDUM: Encontré artículos realmente buenos que discuten en profundidad todos los detalles y efectos relativistas de la navegación GPS (similar a) en el espacio-tiempo. Son Navegación en espacio-tiempo curvo de Thomas B. Bahder , Sincronización de relojes y Navegación en las proximidades de la Tierra y Relatividad de la medición GPS .

El espacio-tiempo local de la Tierra ni siquiera es schwarzchild si quieres hablar de precisión, debido a la naturaleza achatada de la Tierra, hay momentos multipolares más altos a tener en cuenta para el campo gravitatorio. Puede que le interese este artículo ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5253894
Esta no es solo una pregunta de física sino también de electrónica (y me refiero a la electrónica, no a la programación). Los primeros receptores fueron diseñados para funcionar utilizando la tecnología de la década de 1980 o anterior. Tenían que ser portátiles, lo que podría significar que estuvieran montados en un vehículo en lugar de portátiles, lo que limitaría el tamaño y la fuente de alimentación que se podría utilizar. Todo eso afecta los cálculos recomendados. Los receptores modernos pueden calcular la posición como les plazca, y los de encuesta pueden incluir algo de lo que usted sugiere para obtener sus precisiones milimétricas.

Respuestas (2)

Las correcciones de la relatividad general son demasiado pequeñas para importar.

La métrica de Schwarzchild tiene correcciones de orden adimensionales GRAMO METRO / r C 2 . Aquí GRAMO es la constante gravitacional de Newton, METRO la masa de la tierra, r la distancia desde el centro de la Tierra, y C la velocidad de la luz.

En la superficie de la Tierra, estas correcciones métricas son aproximadamente una parte en mil millones; más arriba, cerca de los satélites, son aún más pequeños. Los símbolos de Christoffel que determinan la trayectoria geodésica de la señal tendrán correcciones de la misma magnitud.

La señal tarda alrededor de 0,1 s en viajar a la Tierra desde el satélite, por lo que la corrección GR en Δ t seria de orden 10 − 10 s y la corrección GR en d serian unos 3cm aprox. Esto está por debajo de la precisión del sistema GPS.

El caso en el que el satélite GPS está directamente sobre la cabeza es fácil de resolver analíticamente. Comience con la métrica de Schwartzschild

d s 2 = − ( 1 − 2 METRO / r ) d t 2 + ( 1 − 2 METRO / r ) − 1 d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2

en unidades geométricas donde GRAMO y C son 1

La señal sigue una geodésica nula donde d s = 0 . Una geodésica nula radial satisface

( 1 − 2 METRO / r ) d t 2 = ( 1 − 2 METRO / r ) − 1 d r 2

que es una ecuación diferencial de la que podemos obtener t ( r ) como

t = r 0 − r + 2 METRO Iniciar sesión ⁡ r 0 − 2 METRO r − 2 METRO .

Las condiciones iniciales son que en t = 0 la señal comienza en r = r 0 , el radio orbital del satélite GPS aéreo. Hemos tomado la solución entrante; como t aumenta, r disminuye y en algún momento t = t mi golpea el receptor GPS en la superficie de la Tierra en r = R mi .

para calcular t mi en segundos, restaurar GRAMO y C Llegar

C t mi = r 0 − r mi + R s Iniciar sesión ⁡ r 0 − R s r mi − R s

dónde R s = 2 GRAMO METRO / C 2 es el radio de Schwarzschild de la Tierra, que es de 9,0 mm.

Introduciendo el radio en el que orbitan los satélites GPS, r 0 = 20 , 000 km y el radio de la tierra r mi = 6400 kilómetros, encontramos t mi = 0.045333333368 s. Cuando ignoramos las correcciones GR tomando R s sea ​​0 en lugar de 9 mm, obtenemos t mi = 0.045333333333 s. Por lo tanto, las correcciones GR reducen la velocidad de la señal en 34 picosegundos y hacen que el cálculo de la distancia al satélite se desvíe en 1,0 cm. Una buena aproximación analítica es

Δ d = R s Iniciar sesión ⁡ r 0 r mi .

Corrección: el OP señaló que 20,000 km es la altitud de los satélites GPS, no su radio orbital. Su radio orbital es, pues, de unos 26.400 km. Rehaciendo los números, obtengo un Δ t de 43 picosegundos y un Δ d de 1,3 cm.

A modo de comparación, los errores en cualquier pseudodistancia individual debido a la resolución de la señal, los efectos ionosféricos, el ruido térmico, los relojes imperfectos de los satélites, las efemérides imperfectas, etc., en buenas condiciones, son de alrededor de 10 nanosegundos, ~30 veces más grandes.
Lo que me sorprende no es que el efecto sea insignificante, sino lo cerca que está de ser significativo. Un receptor GPS comercial decente puede tener una precisión de menos de un metro en buenas condiciones, por lo que un error de 1 cm debido a GR es solo dos órdenes de magnitud por debajo de eso. Puedo imaginarme fácilmente que un futuro sistema similar a un GPS sea lo suficientemente preciso como para que se necesiten esas correcciones.
Agradecería que 'label' aceptara mi respuesta, ya que le dediqué mucho tiempo,
Gracias por la completa respuesta. Es bastante sorprendente para mí que el espacio-tiempo del satélite en órbita pueda considerarse como Minkowski a una escala tan grande. La gravedad de la Tierra es realmente débil.
Solo una corrección menor: el radio orbital de los satélites es (según wiki) de aproximadamente 26600 km, por lo que 20000 km es la altitud. Esto obviamente no afecta el argumento ni el orden de magnitud de las cantidades calculadas.
¡Vaya! Gracias por señalar que utilicé el radio de satélite incorrecto.
He adjuntado una corrección a mi respuesta.
Gracias por aceptar la respuesta a pesar de mi error.
Para ser claros, esta corrección relativista general específica es demasiado pequeña para importar. La desviación del reloj que ocurriría sin las correcciones de la relatividad general es mucho más significativa.
Estoy de acuerdo. Es por eso que mi primera oración decía "Las correcciones de la relatividad general son demasiado pequeñas para importar" y luego expliqué que "Esto está por debajo de la precisión del sistema GPS". @hobbs ya mencionó "relojes imperfectos" y otras cuatro fuentes de inexactitud mayores que las correcciones GR.
@IlmariKaronen Creo que es probable que esos sistemas GPS ya estén usando otros aumentos: supuestamente, un GPS de teléfono celular típico tiene una precisión de alrededor de 4,9 m a cielo abierto (según gps.gov). Sin embargo, el orden de magnitud no cambia
La corrección relativista general de las frecuencias de los relojes de los satélites no es una cuestión de "relojes imperfectos": la dilatación del tiempo gravitacional proviene directamente de GR. Pero no es algo que deba preocupar a los receptores de GPS, porque la señal ya está corregida cuando se genera en el satélite.
Existen sistemas de receptores GPS de escala cm de @IlmariKaronen, pero fundamentalmente funcionan en función de medir la señal en ubicaciones de referencia y luego enviar una corrección, ya sea con un error de tiempo (pseudorango) o un error de posición. Esto se conoce como dGPS y existen muchos sistemas (WAAS/SBAS, LAAS/GLS, Starfire, SAIF, etc). Por lo tanto, no es necesario realizar una corrección especial para cada fuente de error posible, sino medir el error por satélite o por ubicación.

Tengo algunos comentarios generales sobre principios; No he buscado números específicos, pero estos estarán en las fuentes a continuación.

En primer lugar, véase el artículo de Neil Ashby (acceso abierto) Living Reviews in Relativity " Relativity in the Global Positioning System ". Ashby es el nombre más importante en este campo.

En segundo lugar, mientras que las "soluciones exactas" como las de Schwarzschild son extremadamente importantes, estas bellas soluciones matemáticas no siempre son las más prácticas. Para el Sistema Solar en general, no se describe utilizando Schwarzschild, etc., sino la "teoría post-newtoniana", que es una especie de aproximación intermedia entre Newton y Einstein. Esta es la recomendación oficial de la Unión Astronómica Internacional; consulte Soffel et al (2003). Para la Tierra específicamente, el campo gravitatorio se modela mejor como una expansión en armónicos esféricos. Por ejemplo, para un futuro satélite chino para detectar ondas gravitacionales, se hará de esta manera. Ver el libro de texto de Poisson & Will.

Finalmente, uno podría pensar que debido a que la Tierra está girando, la métrica de Kerr podría ser una buena aproximación para decir r > 6500 k metro . Sin embargo, el exterior de un cuerpo giratorio no coincide con la métrica de Kerr de esta manera. Consulte también el capítulo 14 del libro de texto de Hartle titulado "Una pequeña rotación", para obtener una aproximación intermedia entre Schwarzschild y Kerr.

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