¿Alguno de los 5 postulados de Euclides es falso en el espacio-tiempo de Minkowski?

A menudo escucho que el espacio-tiempo de Minkowski no es euclidiano. La geometría euclidiana se caracteriza porque los cinco postulados de Euclides son ciertos. ¿Cuáles de esos postulados son falsos en el espacio-tiempo de Minkowski (si los hay), y qué consecuencias físicas observamos de ellos?

La pregunta no tiene sentido hasta que especifique cómo va a interpretar palabras como "punto", "línea" y "ángulo" en el espacio-tiempo de Minkowski. ¿Es cierto el postulado "cada grib contiene un grob" en el espacio-tiempo de Minkowski? Sí o no, dependiendo completamente de cómo interpretes las palabras "grib" y "grob".
@WillO - "La pregunta no tiene mucho sentido ..." - y, sin embargo, Jerry Schirmer pudo proporcionar una respuesta. Intenta ser más amable con tus comentarios.
@peter4075: Jerry pudo proporcionar una respuesta dependiendo de una interpretación particular de la palabra "ángulo". Con una elección diferente (e igualmente razonable), la respuesta sería diferente.
@WillO: pero eso es lo que es un postulado, una elección de lo que quiere decir con términos.
interesante. ¿No está el espacio-tiempo de minkowski ya dotado de una métrica (métrica de minkowski) y luego la noción de distancia, ángulo, etc... sigue naturalmente? Estoy preguntando honestamente, sin contradecir lo que ninguno de ustedes ha dicho.
@JerrySchirmer: No; un postulado (en general) contiene términos que no están definidos. Un modelo (o interpretación ) asigna significados a esos términos. El mismo postulado puede volverse verdadero en una interpretación y falso en otra. En este caso, no se especificó la interpretación, por lo que no podemos asignar un valor de verdad. Por supuesto, siguió adelante y especificó una interpretación, pero el punto es que la pregunta no se podía responder hasta que alguien hizo eso, y que no podemos saber si su interpretación coincide con la intención del OP.
@marjimbel: Creo que la respuesta a tu último comentario es una cuestión de convención social. Hay más de una forma de interpretar la palabra "ángulo" en el espacio-tiempo de minkowski. Lo que estás diciendo, creo, es que una de esas interpretaciones es más natural que las otras, de modo que un lector común adoptará automáticamente esa interpretación, haciendo innecesario que tú la proporciones. Si eso es cierto depende de quiénes son sus lectores y cuáles son sus hábitos. A mí me parece que hay más de una interpretación natural. Para otros, puede parecer que solo hay uno... (CONTINUACIÓN)
(CONTINUACIÓN).... Y no tengo idea de cuán representativos somos yo o esos otros de la población que está leyendo esta pregunta. Entonces, en mi opinión, hubiera sido mejor especificar lo que querías decir.
Estaba pensando implícitamente en el "ángulo" definido por el producto interno de dos vectores usando la métrica de minkowski. ¿En qué otras definiciones de 'ángulo' estás pensando? Sólo curioso.

Respuestas (4)

La fórmula de la distancia de Pitágoras no se cumple para formas arbitrarias, gracias al signo negativo en la métrica. También es bastante fácil decir que los aumentos obedecen a reglas de suma de ángulos hiperbólicos en lugar de reglas circulares. Dado que el postulado sobre la congruencia de los ángulos rectos es necesario para probar la relación de distancias de Pitágoras, y las reglas de suma de ángulos para los intervalos temporales son diferentes a las de los intervalos espaciales, se podría concluir que el postulado de "todos los ángulos rectos son congruentes" no se cumple. -- el "ángulo recto" entre dos direcciones nulas es diferente al de dos direcciones similares al espacio.

interesante. ¿Tiene una manera de mostrar intuitivamente que las reglas de suma de ángulos son diferentes para los intervalos temporales y espaciales, o una referencia? Además, supongo que el espacio de Minkowski en sí mismo no es hiperbólico. el "espacio de impulsos" es hiperbólico en el sentido de que un evento se asigna a otro evento dentro de un hiperboloide. si minkowski fuera hiprbolico, entonces tendria curvatura negativa, no? de hecho, es plano, en el sentido del tensor de curvatura de Riemman cero.
@marjimbel ... con respecto a las reglas de ángulo de adición, mire la referencia de Yaglom en mi respuesta. Creo que mi respuesta es un primer paso en esa dirección. Eventualmente, uno usaría la relación cruzada para definir el ángulo en esa geometría.
frio. voy a. solo para resumir hasta ahora. ¿estamos diciendo que ambos postulados 1 (existencia de segmentos de línea) y 4 (ángulos rectos congruentes) fallan en Minkowski, pero no el postulado paralelo?
No compro esta respuesta. Es cierto que se necesita el postulado del ángulo recto para probar la fórmula de Pitágoras, pero no es lo único que se necesita para probarla. Por lo tanto, no podemos necesariamente concluir del fracaso de Pitágoras que el postulado del ángulo recto fue el punto de falla inicial.
Tenga en cuenta que, según la interpretación dada en la respuesta de @ robphy (donde solo consideramos que las geodésicas temporales son líneas), el postulado del ángulo recto es vacuamente cierto, ya que no hay ángulos rectos.
¿El cuarto postulado es fundamentalmente sobre ángulos rectos? ¿O se trata realmente de algo más (homogeneidad e isotropía) que aquí estamos caracterizando con ángulos rectos?
@robphy: Euclid lo expresa en términos de ángulos rectos, pero estoy seguro de que es equivalente a la anisotropía del tiempo en el espacio aquí.

La geometría euclidiana se caracteriza porque los cinco postulados de Euclides son verdaderos

Esto es cierto, pero lo que caracteriza a la geometría no euclidiana son las desviaciones del postulado de las paralelas, específicamente.

El espacio de Minkowski con la métrica plana de Minkowski tiene subvariedades que tienen geometría no euclidiana (geometría hiperbólica ). Esto significa que se viola el postulado de las paralelas de Euclides : básicamente, si el postulado de las paralelas se cumple para una geometría dada, entonces la suma de los ángulos de un triángulo es π radianes ya que la separación entre líneas paralelas es constante. La geometría es no euclidiana cuando la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que (esférica) o menor que (hiperbólica) π radianes, ya que la separación entre paralelas aumenta o disminuye, respectivamente.

EDITAR: Después de una retroalimentación reflexiva en los comentarios, traté de dejar en claro que el quinto postulado se viola en las subvariedades de una variedad de Lorentzian, mientras que todo el espacio-tiempo de Minkowski es realmente plano (y significado afín El paralelismo Euclid/Playfair se mantiene en la variedad de Lorentz ).

las propiedades hiperbólicas se refieren a la geometría del "espacio de impulsos", ¿no? si el propio espacio-tiempo de minkowski tuviera una geometría hiperbólica, entonces tendría una curvatura negativa, que no es así, ya que es un "espacio plano" en el sentido del tensor de curvatura de Riemman cero. Qué me estoy perdiendo ?
Realmente depende de lo que entendamos por "geometría". Consulte aquí, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space#Geometry
Así que creo que estamos de acuerdo en que el espacio cinemático de un espacio-tiempo de minkowski es hiperbólico. La cuestión es que la "planitud" es una propiedad de la métrica elegida, y usamos la métrica minkowski plana en mi respuesta. Disculpas por no especificar eso antes.
Más a su pregunta: el espacio de Minkowski no es reimanniano, pero tiene subvariedades que tienen geometría hiperbólica (curvatura negativa), mientras que toda la variedad de Minkowski es plana, en el sentido en que quiere decir, cuando está dotada de la métrica plana de Minkowski (también llamada la métrica de Lorentz).
Entonces, ¿quieres decir que el espacio de Minkowski es solo un espacio vectorial y no tiene "geometría" hasta que lo dotamos de una métrica específica, en este caso, la "métrica de Minkowski"? Sin embargo, una vez que hemos decidido la métrica, estoy de acuerdo en que la geometría hiperbólica solo se aplica a la subvariedad y no al espacio en sí. de modo que cuando dice que "se viola el postulado paralelo de Euclides", quiere decir solo dentro de esa subvariedad, pero no en el espacio de Minkowski en sí. similar a cómo la superficie de una esfera incrustada en el espacio euclidiano no es euclidiana?
también, entonces, ¿estaría de acuerdo con los otros comentarios de que en el espacio de minkowski (con métrica de minkowski) los postulados violados son en realidad el primero y el tercero, y que están conectados a la estructura causal de la teoría?
El aspecto hiperbólico del espacio de Minkowski involucra la forma en que se miden los ángulos, usando el arco de una hipérbola unitaria. En la geometría euclidiana, los ángulos se miden usando el arco de un círculo unitario. En ambos casos, ningún aspecto del Postulado Paralelo está involucrado aquí. Ambos (y también el espacio-tiempo de Galileo) son las llamadas "geometrías afines" donde se cumple el Postulado de las Paralelas. Esto también se discute en la referencia de Yaglom en mi respuesta.
Use la formulación de Playfair del postulado paralelo ( en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_axiom ) para eliminar nociones euclidianas como sumas de ángulos de 180 grados. Al final, lo que probablemente sea más importante son los "defectos de ángulo" y el teorema de Gauss-Bonnet. Pero, si te aferras a conceptos centrados en Euclides, entonces encontrarás más fácilmente "fallas" en estas geometrías vecinas.
@marjimbel de hecho, quiero decir que se viola el quinto postulado dentro de esa subvariedad, que determina la curvatura negativa. Los tres postulados se violan en el espacio de Minkowski: Estoy totalmente de acuerdo en que la violación del primer y tercer postulado da como resultado la estructura causal única del espacio-tiempo 4D de Minkowski, pero sostengo que es la violación del postulado de las paralelas de Euclides lo que hace que la cinemática sea hiperbólico (por definición, por supuesto).
La geometría del espacio-tiempo de @robphy minkowski, Lorentz Geometry, es ciertamente afín, pero el espacio euclidiano y el espacio-tiempo de Minkowski tienen diferentes grupos de simetría ya que tienen métricas diferentes. Supongo que debería decir en mi respuesta, para ser más claro, que "el espacio de Minkowski con la métrica plana de Minkowski tiene subvariedades que tienen geometría no euclidiana".
No entiendo la relevancia de las "subvariedades que tienen geometría no euclidiana". La geometría euclidiana tiene subvariedades con geometría no euclidiana.
Claramente, el postulado de las paralelas se viola en las subvariedades. Y, de hecho, podemos incrustar, por ejemplo, la esfera no euclidiana 2 en el espacio euclidiano 3, aunque el espacio euclidiano 3 sea plano y obedezca el postulado de las paralelas. Simplemente no quiero ser engañoso, así que estoy tratando de ser específico: el espacio de Minkowski es euclidiano (lo cual es obvio si permite que la coordenada de tiempo sea imaginaria), pero tiene subvariedades no euclidianas que dan como resultado una cinemática hiperbólica. , que se relaciona con la pregunta del OP sobre los postulados de Euclides.
No entiendo por qué sería interesante que haya subvariedades que no sean planas. El espacio euclidiano también tiene subvariedades (p. ej., la esfera) que no son planas.
El espacio cinemático (que son subvariedades específicas) de la relatividad de minkowski no es euclidiano, un ejemplo de la violación del postulado paralelo.
Creo que estamos en la misma página sobre el tema de la subvariedad, y gracias por aclararlo. simplemente retomando el comentario de que "el espacio de minkowski es euclidiano". puedes elaborar ? si entiendo que euclidiano significa que ninguno de los 5 postulados se viola (¿es esto correcto?) entonces supongo que su declaración contradiría lo que otros han dicho sobre el primer o tercer postulado que no es cierto en el espacio de minkowski.

El espacio-tiempo de Minkowski viola el Primer Postulado de Euclides, cuando se expresa en una forma como el postulado de Playfair. Físicamente, esta violación nos dice algo sobre la Estructura Causal en el espacio-tiempo.

El primer postulado se puede expresar como la versión "dual" del quinto postulado:
"Dado un punto, y una línea que no pasa por ese punto, no existe ningún punto en esa línea que no pueda unirse (mediante una línea "ordinaria") a el punto dado".

Entonces, para la relatividad especial, lo escribo así:
"Dado un evento, y una línea de tiempo que no experimenta ese evento, existen infinitos eventos en esa línea de tiempo que no están "relacionados con el tiempo" con el evento dado".

Para la relatividad galileana,
"Dado un evento, y una línea de tiempo que no experimenta ese evento, existe un evento en esa línea de tiempo que no está "relacionado con el tiempo" con el evento dado".

(Creo que el Postulado Paralelo (expresado adecuadamente, por ejemplo, Playfair) está bien para los espacio-tiempos de Galileo y Minkowski. Creo que es lo que nos permite dibujar líneas paralelas... como los extremos de una regla métrica en un diagrama de espacio-tiempo).

actualización:
este punto de vista es lo que interpreté físicamente de
IM Yaglom "Una geometría no euclidiana simple y su base física: una explicación elemental de la geometría galileana y el principio galileano de la relatividad"
https://archive.org/details/ASimpleNon-euclideanGeometryAndItsPhysicalBasis /pagina/n237 .
Consulte las Figuras 188a-c en la página 220, que inserté a continuación.robphy-interpreta-FirstPostulate-Yaglom-p220

(De Yaglom, p220)
De acuerdo con el requisito de congruencia de dos líneas cualesquiera en el plano, es natural definir el "plano de Minkowski" como los puntos del plano (ordinario) y las líneas de un tipo, digamos, el primero. A este respecto observamos que en la geometría euclidiana todo punto de una línea a puede unirse mediante una línea a un punto A que no esté en a (figura 188a); en la geometría galileana, cada línea a contiene un único punto, "paralelo" a A, que no puede ser unido por una línea (ordinaria) a A (Fig. 188b); en la geometría minkowskiana, hay infinitos puntos en una recta a de primera clase que no pueden unirse a A mediante rectas de primera clase (figura 188c). Por otra parte, las tres geometrías comparten la propiedad de que por cualquier punto A que no esté sobre a pasa una única recta que no corta a a (una única recta paralela a a).

esto es muy interesante y nunca había oído hablar de un ejemplo de una geometría que se desvía de la de Euclides en el primer postulado en lugar del postulado paralelo. Creo que el postulado paralelo que se viola conduce a espacios "curvos", como hiperbólicos. sin embargo, minkowski es "plano". me cuesta reconciliar el hecho de que Minkowski es plano con el hecho de que es una geometría no euclidiana, y eso es lo que subyace a mi pregunta inicial
Estoy de acuerdo con tu caracterización. El espacio-tiempo de Minkowski es un espacio plano (de curvatura cero). Es una geometría de Cayley-Klein. Actualizaré mi respuesta con una referencia.
Estás definiendo implícitamente "líneas" para que sean geodésicas temporales. Esta es una elección interesante, y podría ser justificable, pero de alguna manera sería más natural considerar todas las geodésicas (temporales, nulas o espaciales) como las "líneas" en el espacio-tiempo.
Esta es la caracterización de Yaglom, que es muy atractiva. Puedo unificar mucho de euclidiano, minkowski y galileano trabajando en las analogías entre las geodésicas temporales. (Los spacetimes deSitter se pueden incluir con más trabajo... en mi lista de tareas pendientes). Los otros tipos (spacelike y null) se manejan de manera especial, según sea necesario.
Tenga en cuenta que si adopta la elección de @ MichaelSeifert, el axioma que se viola es uno que Euclid consideró tan obvio que ni siquiera lo declaró explícitamente, a saber, el primer axioma de congruencia de Hilbert (aproximadamente, si A B ¯ es un segmento de línea, y γ un rayo con vértice C , hay algo D en γ tal que A B ¯ es congruente con C D ¯ ).
En este sentido, me gusta señalar que el gráfico de posición frente a tiempo en PHY 101 tiene una geometría de espacio-tiempo no euclidiana, la geometría galileana, donde las longitudes de las líneas de tiempo se miden con "relojes de pulsera". Aquí no tenemos ningún problema con el postulado de las paralelas.
La discusión aquí ilustra el punto que estoy tratando de hacer en mis comentarios sobre la pregunta principal. Si el primer postulado de Euclides es cierto en el espacio-tiempo de Minkowski depende completamente de los significados que decidas asignar a las palabras "línea" y "punto". Esta respuesta hace posible una asignación de significados. Hay alternativas, como lo señala @MichaelSeifert. Hasta que especifique la interpretación, la pregunta en sí misma no tiene sentido.
Por favor, ayúdame aquí. El primer axioma de Euclides es que se puede dibujar un segmento de línea recta (único) uniendo dos puntos cualesquiera. Eso también es cierto para los eventos en el espacio de Minkowski. ¿No está modificando el primer axioma de Euclides al distinguir líneas rectas según tengan una longitud métrica negativa, cero o positiva, y luego rechazar algunas de ellas? ¿Por qué eso no lo convierte en un axioma diferente al de Euclides?
@lsfinn A través de la geometría proyectiva, Yaglom reinterpreta el primer postulado como dual a la versión de Playfair del postulado paralelo (quinto). En ese contexto, "el debilitamiento de la existencia y unicidad de una línea paralela (para permitir cero o un infinito) a través de un punto distante en el 5º" es dual a "el debilitamiento de la inexistencia de puntos inaccesibles (para permitir exactamente uno o un infinito ) por una recta con tangente a norma cuadrada positiva [temporal] en la 1ª". Como el debilitamiento de la 5ª sugiere geometría elíptica e hiperbólica, el debilitamiento de la 1ª sugiere espacio-tiempo galileano y de Minkowski.

Esto es de A First Course in General Relativity de Schutz (segunda edición, página 117):ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Alguno de los 5 postulados de Euclides es falso en el espacio-tiempo de Minkowski?
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