¿Cuál es la métrica del espacio-tiempo estándar no orientable en el tiempo?

Si ha leído alguna topología de espacio-tiempo, conoce ese espacio-tiempo. Es el sorprendente cono de luz giratorio identificado después de media rotación. Y fuera del espacio de De Sitter con algunas identificaciones, es el único espacio-tiempo no orientable en el tiempo jamás descrito.

Por ejemplo, aquí está en Wald:

Y aquí está en Sánchez :

Sin embargo, nunca se describe explícitamente. Obviamente de topología$\Bbb R \times S$, pero más allá de eso, cualquiera puede adivinar cuál es la métrica en realidad.

Sánchez en realidad casi da la métrica, al darnos productos escalares:

$$X_1 = \cos(\pi x) \partial_x + \sin(\pi x) \partial t$$ $$X_2 = -\sin(\pi x) \partial_x + \cos(\pi x) \partial t$$ $$g(X_1, X_2) = -1$$ $$g(X_1, X_1) = g(X_2, X_2) = 0$$

Lo que significa

$$-\sin(\pi x)\cos(\pi x)g_{xx} + \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$\cos^2(\pi x) g_{xx} + \sin^2(\pi x) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$\sin^2(\pi x) g_{xx} + \cos^2(\pi x) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Sumando los dos últimos, esto nos da

$$g_{xx} = -g_{tt}$$

Entonces

$$2 \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$(-\cos^2(\pi x) +\sin^2(\pi x)) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$(-\sin^2(\pi x) + \cos^2(\pi x)) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Como el cono de luz, y por lo tanto la dirección del tiempo y el espacio, gira, mi instinto me dice que ponga$g_{tt} = \cos(\pi x)$. El determinante de la métrica será entonces$\cos^2(\pi x) - g_{tx}^2$. Para mantener la firma, esto significa$\cos^2(\pi x) < g_{tx}^2$. Si uso ese ansatz,

$$g_{tx} = -2 \frac{\sin(\pi x)\cos(\pi x)^2 + 1}{(\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) }$$

$$g_{tx} = \frac{( \cos^2(\pi x)-\sin^2(\pi x) ) }{2 \sin(\pi x)}$$

Un gráfico rápido me dice que esas no son las mismas funciones. ¿Alguna idea de cuál sería la métrica real?