Dibuja 7 líneas en el plano de manera arbitraria. Demuestre que para cualquier configuración de este tipo, 2 de esas 7 líneas forman un ángulo menor que 26◦

He estado trabajando en esta pregunta por un tiempo y creo que esta es una de las muchas aplicaciones de The Pigeonhole Principle. Sin embargo, no parece sacar una conclusión. Entonces, calculé que las líneas deben intersecarse de alguna manera para formar un heptágono y la suma de los ángulos exteriores debe ser de 360 ​​grados, que se distribuirán entre los pares de líneas que se formarán. También me di cuenta de que 180 7 = 25.714 aproximadamente lo cual me incentivó a realizar este trámite, sin embargo, no veo una continuación. ¡Gracias!

Editar: parece que el caso de 2 líneas paralelas está rompiendo la declaración del título, por lo que creo que es seguro asumir que estamos hablando de tomar 7 líneas arbitrariamente donde no hay 2 líneas paralelas entre sí.

Si los 7 son paralelos, ninguno de ellos forma ángulo con otro. Pero supongo que consideraría que este caso límite tiene un ángulo de 0 .
Si mueve las líneas para que se intersequen en un punto, entonces puede hablar fácilmente sobre los ángulos entre 2 líneas, y su observación sobre PP debería conducir al resultado.
@CalvinLin Sí, pero ¿no es eso demasiado específico de un arreglo que no se cumple para un caso general ... ¿No es una gran suposición del problema?
@ParthShresth No, porque no cambia el ángulo entre 2 líneas si mueve las líneas de manera paralela (excepto en el caso de 2 líneas paralelas). Esto le permite concentrarse fácilmente en lo que realmente importa.
@ParthShresth ¿Hiciste esta pregunta tú mismo para practicar? Si es así, probablemente valga la pena aclarar que no hay dos de las líneas paralelas, o que considera que las líneas paralelas tienen un ángulo de cero grados (es decir, solo le preocupan sus orientaciones relativas, no si realmente se cruzan). Ese punto parece estar causando mucho alboroto por muy poco beneficio educativo. Si el problema proviene de otro lugar, sería útil publicar la redacción exacta (para que quede claro si se trata de líneas paralelas), o al menos nombrar la fuente para que otros puedan investigarlo.
@DavidZ No, no creé este problema. Encontré este problema en un conjunto de problemas. La autora de este conjunto de problemas no afirma haber creado el problema, es solo una compilación de muchos problemas para practicar para un examen de ingreso. Además, el título es la redacción exacta de la pregunta.
@ParthShresth Ah, está bien... bueno, en ese caso creo que quedaría más claro si incluyes la redacción exacta de la pregunta en un bloque de comillas en el cuerpo de la publicación, para dejar en claro que esa es la redacción exacta, y tal vez incluso agregue algo para decir explícitamente que no tiene más información. Todavía no aclarará cómo tratar las líneas paralelas, pero al menos hará que la gente se dé cuenta de que no lo sabes.

Respuestas (3)

Gran pista, con siete líneas que difieren al máximo en el ángulo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Como solo te interesan los ángulos relativos, puedes desplazar arbitrariamente cada línea para que pase por el mismo punto (el origen).

¿Crees que hay una manera de hacer que todos los ángulos sean mayores que 26 ∘ ?

Bueno, supongo que si se te permite construir siete líneas paralelas que no se intersecan... bueno, entonces seguro. Pero esto sucede estadísticamente con medida 0 .

Ummm... votante negativo: Por favor explique.
¿Posiblemente porque si trasladas las líneas alrededor obtienes diferentes ángulos entre ellas, en sus diferentes puntos de intersección?
@nick012000 9: No. Falso e irrelevante. ¿Ves por qué?
No creo que siempre sea falso: la traducción pura solo cambia los puntos de intersección, y ha creado la distribución óptima para un "spray", pero la construcción correcta de triángulos y cuadrados podría tener ángulos más grandes. Vea mi propia respuesta para una refutación trivial de la conjetura del OP.
@ nick012000 Es falso en geometría no euclidiana, pero ¿y qué? Nota: Euclides ya demostró un teorema sobre los ángulos entre dos rectas paralelas (es decir, una recta más una traslación pura de sí misma) y una recta transversal.

Fue un poco complicado aplicar el principio del casillero a este problema. Inicialmente pensé en dividir un 180 ∘ transportador en siete secciones iguales que eran los agujeros, y los ángulos en sentido contrario a las agujas del reloj las siete líneas hechas con el X -eje eran las palomas. Ciertamente, si dos líneas están en el mismo agujero, entonces su ángulo es como máximo 180 / 7 < 26 . Sin embargo, se trata de siete palomas en siete hoyos, por lo que no podemos concluir que hay dos palomas cohabitando.

Esto es lo que encontré que funciona. Seleccione arbitrariamente una de las líneas y llámela L . Si alguna de las otras seis líneas se cruzan L en un ángulo de como máximo 180 / 7 grados, entonces hemos terminado. De lo contrario, la medida del ángulo en sentido antihorario que forma cada línea con L está entre 180 ⋅ 1 7 y 180 ⋅ 6 7 . Podemos dividir el intervalo [ 180 ⋅ 1 7 , 180 ⋅ 6 7 ] en cinco intervalos de longitud 180 / 7 . Estos son nuestros cinco agujeros, y los ángulos con L de las otras seis líneas son las palomas.

esto es falso

Considere el caso de tres líneas paralelas entre sí y perpendiculares a otras cuatro líneas. Todos los ángulos entre ellos serán de 90 grados. Como 90 es mayor que 26, esta conjetura es falsa. QED.

También puedes hacer esto dibujando un hexágono regular a partir de líneas y luego dibujando una línea adicional entre dos de las esquinas opuestas, produciendo cuatro ángulos de treinta grados y varios ángulos de 120 y 60 grados.

Pero si las líneas son paralelas, ¿no implica eso que el ángulo entre ellas es 0 grados menor que 26 grados?
@ParthShresth No, el ángulo entre dos líneas paralelas no está definido. El límite del ángulo entre dos líneas cuando se acercan a la paralela es cero, pero eso no es lo mismo, como tampoco el valor de 1/0 es infinito porque el valor del límite de 1/x tiende a infinito cuando x tiende a cero.
Sí, entiendo lo que estás tratando de insinuar. Tal vez solo deberíamos preocuparnos por el caso en el que las líneas se dibujan arbitrariamente pero no hay dos líneas paralelas porque eso parece estar creando una confusión.
La pregunta citada por el OP no se establece con precisión, pero es bastante obvio que "de manera arbitraria" excluye casos especiales como "todas las líneas son paralelas", que de lo contrario sería un contraejemplo más simple que el suyo (porque por su interpretación de la pregunta no hay ángulos en absoluto)
"Esto es falso". Como beneficio adicional, también describe su respuesta.
Dibuja 7 líneas en el plano de manera arbitraria. Demuestre que para cualquier configuración de este tipo, 2 de esas 7 líneas forman un ángulo menor que 26◦
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