Existencia de un subconjunto tal que el producto de sus elementos es un cuadrado perfecto

Suponer$S \subset \{1,2,3,\ldots, 200\}$semejante$|S|=50$. Demostrar que existe un subconjunto no vacío de$S$tal que el producto de sus elementos sea un cuadrado perfecto.

Tengo una solución, pero quiero saber si tiene alguna falla, porque creo que también podríamos resolver esta pregunta usando el casillero, y tal vez sea la única forma, pero usé la contradicción. Realmente agradecería si pudiera ayudarme a verificar mi solución, gracias.

Supongamos que, por el contrario, no es cierto, por lo que no hay un subconjunto no vacío de$S$tal producto de sus elementos es un cuadrado perfecto. Si$A \subset S$, denotamos el producto de sus elementos por$\prod A$. Ahora supongamos$P_1,P_2,\ldots,P_{46}$son los primos menores que$200$. Así, para cualquier subconjunto de$S$,$\prod A$tiene el$P_1^{\alpha_1}P_2^{\alpha_2} \cdots P_{46}^{\alpha_{46}}$forma. Definir el mapa$L: \prod A \to (b_1,b_2,\ldots,b_{46})$tal que$b_i=0 \iff \alpha_i \equiv 0 \pmod{2}$y$b_i=1 \iff \alpha_i \equiv 1 \pmod{2}$. Ahora bien, dado que no existe un subconjunto tal$\prod A$es un cuadrado perfecto, siempre existe un$\alpha_i$tal que es un número impar. Lo sabemos por nuestro mapa, tenemos como máximo$2^{46}$valores, y desde$2^{46} \le 2^{50}-1$, existen dos subconjuntos distintos no vacíos$A,B \subset S$semejante$L (\prod A) = L (\prod B)$.Ahora podemos escribir