Demuestre que para cualquier conjunto de 201 enteros positivos menores que 300, debe haber dos cuyo cociente sea una potencia de tres (sin resto)

Supongo que no deberíamos considerar la potencia cero de 3 porque es igual a uno. Todo entero positivo es múltiplo de 1.

Definamos el conjunto S3 de enteros que son múltiplos de 3 estrictamente menores que 300. El tamaño de este conjunto es 99, porque 99 * 3 = 297.

Consideremos algún subconjunto de tamaño 201. Se eliminan 98 enteros del conjunto inicial. Pero podemos elegir 98 de S3. Entonces solo queda un elemento de S3. ¿Dónde estoy equivocado?

Tu no estas equivocado. Pero si el conjunto de 201 enteros contiene sólo un múltiplo de 3 , decir 3 norte , entonces también contiene norte , por lo que contiene dos números cuyo cociente es 3 .
No estoy seguro si ayuda, porque no entiendo tu argumento, pero { 1 , 2 } ∪ { norte : 100 ≤ norte ≤ 299 } es un ejemplo de un conjunto de 201 elementos de los cuales no hay dos que tengan un cociente de 3 , por lo que realmente necesita la condición de "poder de 3".

Respuestas (1)

AYUDA: Cada entero en el conjunto { 1 , 2 , … , 299 } puede escribirse únicamente en la forma 3 metro norte , dónde metro ≥ 0 , norte ≥ 1 , y norte no es múltiplo de 3 . Ya has demostrado que hay 200 opciones posibles para norte . Para cada uno de estos valores de norte dejar

A norte = { 3 metro norte : metro ≥ 0  y  3 metro norte < 300 } ;

los conjuntos A norte son una partición de { 1 , 2 , … , 299 } en 200 partes. Ahora aplica el principio del casillero.

Supongo que el problema implica que debe haber dos potencias distintas de 3. Así que supongo que 1 debería incluirse en el conjunto S3. ¿Correcto?
@usuario1745356: No: 1 no es múltiplo de 3 . En cualquier caso, no son en realidad los múltiplos de 3 que son importantes: son los no múltiplos de 3 — o más bien, el hecho de que sólo hay 200 de ellos.
Quise decir que cualquier número entero es un múltiplo de la potencia cero de 3 porque 3^0=1. Así que entre 201 enteros debe haber al menos 1 entero que sea un múltiplo de 3^j donde j > 0. Y podemos seleccionar cualquier otro entero incluso un primo porque es un múltiplo de 1 y 1 es una potencia cero de 3. Es este razonamiento es correcto?
@user1745356: Me temo que no: el hecho de que 1 es un poder de 3 simplemente no es relevante para el problema. No estás prestando atención a la pista que te di. Tienes 200 conjuntos A norte y 201 números, cada uno de los cuales está en uno de los conjuntos A norte ; ¿Qué te dice el principio del casillero?
Resulta que entendí completamente mal el problema. Traté de encontrar dos números en el conjunto que sean MÚLTIPLOS de 3. Gracias.
@user1745356: Ah, está bien; ¡Eso explica por qué se sentía como si estuviéramos un poco en desacuerdo! De nada.
Demuestre que para cualquier conjunto de 201 enteros positivos menores que 300, debe haber dos cuyo cociente sea una potencia de tres (sin resto)
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