Dados 5 enteros, muestra que puedes encontrar dos cuya suma o diferencia sea divisible por 6.

AYUDA: Si dos de los números tienen el mismo resto en la división por$6$, su diferencia es divisible por$6$, por lo que puede centrarse en el caso en el que los cinco enteros tienen residuos diferentes en la división por$6$. Trate de mostrar que no importa cuál de los$6$faltan restos posibles, debe tener dos números cuya suma sea un múltiplo de$6$.

Simple.

Como se indicó anteriormente, si tiene dos números enteros diferentes que dan el mismo resto cuando se dividen por 6, entonces su diferencia será divisible por 6.

Considere el caso de los números enteros que tienen recordatorios diferentes cuando se dividen por 6. Entonces solo puede haber 6 restos: 0,1,2,3,4,5 Es fácil notar que 1+5 = 6, lo que significa que suma números enteros que dan resto de 1 y 5 cuando se divide por 6 será divisible por 6, y 2+4 = 6, lo que significa que la suma de los números enteros que dan resto de 2 y 4 cuando se divide por 6 será divisible por 6,

Dado que debe elegir 5 números enteros de los seis posibles tipos de residuos, no puede eludir ambos pares. Por lo tanto al menos una suma será divisible por 6 QED

$a\equiv b\pmod{\! m}$denota '$a,b$deja los mismos residuos cuando se divide por$m$', o$m\mid a-b$(ver Aritmética Modular ).

$x^2\equiv \{0,1,3,4\}\pmod{\! 6}$para cualquier$x\in\Bbb Z$($\color{#0af}4$restos posibles).

Para ver por qué, cuadrado$6k,\, 6k\pm 1,\, 6k\pm 2,\, 6k+ 3$.

Deje que sus números enteros sean$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$($\color{#0af}{4}+1$números enteros).

Por principio de casillero existen$i\neq j$con$a_i^2\equiv a_j^2\pmod{\! 6}$, o es decir$6\mid (a_i+a_j)(a_i-a_j)$

Asumir para contr. eso$6\nmid a_i+a_j, a_i-a_j$. Entonces WLOG$3\mid a_i+ a_j,\, 2\mid a_i- a_j$

Pero$a_i+ a_j=a_i- a_j+ 2a_j$, entonces$a_i+ a_j$es incluso demasiado y$6\mid a_i+ a_j$, suposición contraria.

Este utiliza métodos elementales, pero generaliza.$\,x^2\not\equiv 2$,$\,x^2\not\equiv -1$$\pmod{\! 6}$es una consecuencia de la reciprocidad cuadrática , porque$3$(divisor primo de$6$) es de la forma$8k+3$. Así que no necesitabas cuadrar$0,\pm 1,\pm 2, 3$, que está bien desde el$6$podría haber sido más grande.

Sugerencia : en lugar de usar el mod de residuos no negativos más pequeño$6$, use residuos del valor absoluto más pequeño (p. ej.,$-2,-1,0,1,2,3$). ¿Qué puedes decir acerca de dos números con el mismo valor absoluto?