Considere cualquier conjunto de enteros positivos únicos. Demuestre que siempre hay una manera de elegir un par donde la diferencia o la suma del par es un múltiplo de .
Sé que este es un problema trivial, pero me está volviendo loco. Por alguna razón, no puedo encontrar el enfoque correcto.
He tratado de considerar todo pares posibles, y trató de encajarlos en espacios enteros. Por el principio del casillero, habrá al menos un conjunto de es tal que los tres pares tienen el mismo mod de congruencia . Pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de ese punto, o si estoy en el camino correcto.
Si dos de estos 7 números, digamos y , deja el mismo resto, cuando se divide por 10, entonces es divisible por 10
Si todos los 7 dejan los 7 residuos diferentes, cuando se dividen por 10, entonces al menos 5 de sus residuos son distintos de cero y diferentes de 5, y por lo tanto son 5 miembros diferentes de
Sean los nos a1 , a2 , a3 ,a4 ,a5 ,a6 , a7 y sin pérdida de generalidad , sea a1 el mayor no
Defina dos grupos Grupo 1: a1+a2 a1+a3 a1+a4 ... a1+a7
Grupo 2 a1-a2 a1-a3 a1-a4 ... a1-a7
Ahora tenemos 14 números, dividiéndolos por 10 y comparando sus restos, encontramos que, por el principio del casillero, al menos 2 dejan el mismo resto (como número de números = 14, mientras que número de posibles restos = 10)
Caso 1: Ambos números que tienen el mismo resto se encuentran en el grupo 1 - Sin pérdida de generalidad, sean los números a1+a2 y a1+a3, entonces el número requerido es a2-a3 (restando dos números que dejan restos iguales (cuando dividido por 10) da como resultado un no divisible por 10
Caso 2: ambos números se encuentran en el grupo 2 - Realice la misma operación que en el caso 1
Caso 3: uno se encuentra en el grupo 1 y el otro en el grupo 2 - Realice la misma operación
Por lo tanto, siempre hay un número divisible por 10