¿Qué determina físicamente la topología de conjunto de puntos de una variedad de espacio-tiempo?

No es necesario definir la topología de la variedad a partir de la métrica. Si bien es una buena característica, la topología de la variedad se define principalmente por su atlas, que, desde una perspectiva física, corresponde a las coordenadas. Un espacio-tiempo con un conjunto de coordenadas.$\{ x^i \}$tendrá una topología definida por el mapeo de conjuntos abiertos de$\mathbb{R}^n$al colector a través del gráfico$\phi$.

Sin embargo, si lo desea, hay algunas cosas en la relatividad general que definen la topología del espacio-tiempo.

Una base común de la topología del espacio-tiempo es la topología de Alexandrov. Si su espacio-tiempo es fuertemente causal, la topología de Alexandrov es equivalente a la topología múltiple. Su base está definida por el conjunto de diamantes causales:

Es fácil encontrar contraejemplos (la topología de Alexandrov es simplemente$\varnothing$y$M$para el espacio-tiempo de Gödel), pero si es fuertemente causal, eso le devolverá la topología múltiple.

Hay muchas formas posibles de definir una variedad, algunas de las cuales no son del todo equivalentes, pero todas son equivalentes para fines físicos. Por ejemplo, puede definir una variedad en términos de una triangulación.

Podría simplemente comenzar con la variedad, digamos definida usando una triangulación. Entonces tiene una topología definida, y solo después de eso, debe preocuparse por ponerle una métrica.

Si utiliza la definición de una variedad en términos de un gráfico con mapas de transición suave, obtendrá una topología de forma gratuita a partir de los gráficos. Creo que esto es esencialmente lo que dice enumaris.

Pero también deberíamos poder hablar de estas cosas de una manera independiente de las coordenadas. Una métrica puede existir simplemente en una variedad, independientemente de si la variedad se definió alguna vez en términos de cualquier gráfico de coordenadas. Entonces creo que todavía obtienes una topología inducida por la métrica. Esto se debe a que la métrica define geodésicas y también define parámetros afines a lo largo de esas geodésicas. Entonces, en su ejemplo de enviar un fotón a la galaxia de Andrómeda, el fotón viaja a lo largo de una geodésica, podemos definir un parámetro afín y podemos decir que la emisión y la recepción del fotón no se encuentran en una vecindad arbitrariamente pequeña entre sí. , porque se encuentran a una distancia afín finita.

No sé "físicamente" qué define los conjuntos abiertos, ya que los conjuntos abiertos son (afaik) una construcción puramente matemática, pero lo que define los conjuntos abiertos en la variedad de espacio-tiempo son simplemente los conjuntos abiertos en$\mathbb{R}^4$. Conjuntos abiertos en$\mathbb{R}^4$se asigna a conjuntos abiertos en la variedad por definición. La topología de variedades se induce naturalmente de esta manera.

La métrica indefinida de una variedad pseudo-riemanniana evita que sea un espacio métrico y, por lo tanto, utiliza esta ruta para definir un espacio topológico.

Sin embargo, aún podemos relajar los axiomas de un espacio métrico y aún así poder definir un espacio topológico. En este caso, tenemos la definición de una pseudo-métrica y luego la construcción de la topología se lleva a cabo como en el caso habitual.

Matemáticamente, una aporía más importante (una propiedad faltante pero importante) es que las variedades no tienen la propiedad exponencial:

Si$M$y$N$son multiples. Entonces$M+N$y$MN$son variedades (la primera es la unión disjunta y la segunda el producto cartesiano). Sin embargo, mientras que la exponencial$M^N$existe tanto en el conjunto de puntos como en el nivel topológico, no como múltiple. Hay muchos intentos de evitar esto, pero un método que parece estar ganando cada vez más aceptación y que fue presentado por primera vez por Souriou y luego llamado difeología utiliza técnicas inspiradas en la teoría de la gavilla.