¿Cuál es el significado físico del núcleo de la matriz de densidad?

El núcleo de este mapa lineal es el conjunto de soluciones a la ecuación A x = 0, donde 0 se entiende como el vector cero.

Pero, ¿cuál es el significado físico del núcleo de la matriz de densidad?

Respuestas (1)

Supongamos que el sistema se encuentra en algún estado mixto descrito por el operador de densidad:

ρ ^ = ∑ k = 1 norte ρ k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k |
where N is the dimensionality of the Hilbert space. Now for every vector | x ⟩ ∈ K e r ( ρ ^ ) , we have by definition:
ρ ^ | X ⟩ = ∑ k = 1 norte ρ k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | X ⟩ = 0
Debido a la independencia lineal de los estados, esto significa que ⟨ ψ k | X ⟩ = 0 para todos k ∈ { 1 , . . . , norte } , es decir, el núcleo del operador de densidad es el subespacio correspondiente a todos los vectores ortogonales al conjunto de estados puros que constituyen el estado mixto global. Físicamente, esto significa que el kernel es el subespacio abarcado por estados en los que el sistema tiene cero probabilidad de estar. En otras palabras, cada estado dentro del kernel tiene cero probabilidad de ocurrencia, y viceversa.

Si no está seguro acerca de la parte viceversa, considere un estado | X ⟩ which has zero probability of occurrence; we can easily show that this state belongs to the kernel of the density operator. To do this, recall that the probability of being in a state is just the trace of the density operator multiplied by the projector onto that state; i.e.
P = T r ( ρ ^ | X ⟩ ⟨ X | ) = ∑ k = 1 norte ⟨ ψ k |   ( ρ ^ | X ⟩ ⟨ X | )   | ψ k ⟩ = ∑ k = 1 norte ⟨ ψ k | ρ ^ | X ⟩ ⟨ X | ψ k ⟩
PAG = ∑ k = 1 norte ρ k ⟨ ψ k | X ⟩ ⟨ X | ψ k ⟩ = ∑ k = 1 norte ρ k   | ⟨ ψ k | X ⟩ | 2
Donde he usado el hecho de que el operador de densidad es hermitiano. Ahora configurando PAG = 0 , porque todos los términos de la suma anterior son no negativos (recuerde ρ k es una probabilidad), todos tienen que ser cero para que la suma sea cero; lo que significa ⟨ ψ k | X ⟩ = 0 . De este modo:
ρ ^ | X ⟩ = ∑ k = 1 norte ρ k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | X ⟩ = 0
Lo que significa que | X ⟩ ∈ k mi r ( ρ ^ ) .

Entonces, ¿significa que el soporte es el subespacio atravesado por estados en los que el sistema tiene una probabilidad distinta de cero de estar?
Sí. Como se mostró, un estado tiene cero probabilidad de ocurrencia si y solo si está en el kernel, esto significa que cualquier otro estado no debe estar en el kernel, es decir, debe estar en el soporte del operador.
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