¿Por qué los operadores de densidad abarcan todo el espacio de operadores B(H)B(H)\mathcal{B}(H)?

Quiere probar que dada una matriz arbitraria$A$, podemos escribir$A$como una combinación lineal de matrices positivas de trazas unitarias.

Para hacer esto, comienza escribiendo$A$en términos de sus componentes hermitianos y sesgados-hermitianos (ver también esta publicación sobre esta descomposición):

$$A=\underbrace{\frac{A+A^\dagger}{2}}_{\equiv A_1}+i\underbrace{\frac{A-A^\dagger}{2i}}_{ \equiv A_2}\equiv A_1+i A_2,$$ dónde$A_1,A_2$son hermíticos (también se puede mostrar fácilmente que esta descomposición es única).

Entonces, se puede usar el hecho de que para cualquier matriz hermitiana$H$, hay matrices positivas$H_+$y$H_-$tal que$H=H_+-H_-$. Una manera fácil de construirlos es tener$H_+$contienen sólo los términos de la descomposición espectral de$H$correspondientes a valores propios positivos, y de manera similar para$H_-$. De manera equivalente, simplemente definimos$H_+\equiv (H+|H|)/2$y$H_-\equiv (|H|-H)/2$.

En conclusión, logramos escribir

$$A=\frac{1}{2}[(A_{1,+}-A_{1,-})+i(A_{2,+}-A_{2,-})],$$ lo que te dice que cualquier operador es una combinación lineal de unos positivos . Para mostrar que también es una combinación lineal de elementos positivos de seguimiento unitario , simplemente necesita volver a escalar cada elemento en la suma para obtener operadores con seguimiento unitario. Por ejemplo,$A_{1,+}$podría no tener un seguimiento de la unidad, pero$A_{1,+}=\lambda(A_{1,+}/\lambda)$para cualquier$\lambda\in\mathbb R$, y podemos elegir$\lambda$tal que$\operatorname{tr}(A_{1,+}/\lambda)=1$.

Elige tu operador favorito$\,x\in\mathcal{B}(H)\,$y escríbelo como$\,x=a+ib\,$donde ambos

$$a={x+x^*\over 2}\quad\text{and}\quad b={x-x^*\over 2i}$$ son autoadjuntos (o 'hermíticos', como sinónimos). Aquí $x^*$denota el adjunto de $\,x$; corresponde a transposición y conjugación compleja si $\,x\,$se representa como una matriz.
Las combinaciones lineales $\,a,b\,$generalizar las partes real e imaginaria de un número complejo.

Para obtener la conclusión deseada, tenga en cuenta que el subconjunto de operadores autoadjuntos en$\mathcal{B}(H)$es igual a$\mathbb{R}$-tramo lineal de$\,\mathcal{D}(H)\,$.