Determine si f(z1)−f(z2)(z1−z2)2f(z1)−f(z2)(z1−z2)2\frac{f(z_1) - f(z_2)}{(z_1 - z_2) ^2} está completo.

Dejar F sea ​​una función entera dada. Dejar z 1 , z 2 ser variables complejas.

Sé F ( z 1 ) − F ( z 2 ) z 1 − z 2 es entero Si F es un polinomio podemos simplificarlo. Entonces tenemos factorización.

Pero, ¿podemos determinar si F ( z 1 ) − F ( z 2 ) ( z 1 − z 2 ) 2 esta entero?

¿Usamos álgebra o cálculo para eso?

Editar :

Parece haber cierta confusión sobre lo que significa estar completo para dos variables complejas. Simplemente significa analítico en ambas variables para cualquier par. ( z 1 , z 2 ) .

Por ejemplo F ( z 1 , z 2 ) = z 1 2 − z 2 2 z 1 − z 2 = z 1 + z 2 es analítico. Pero F ( z 1 , z 2 ) z 1 − z 2 = z 1 2 − z 2 2 ( z 1 − z 2 ) 2 = z 1 + z 2 z 1 − z 2 tiene un poste (no removible) en z 1 − z 2 y, por lo tanto, no es analítico en todas partes, por lo tanto, no es completo.

Nota F se define como entero, no necesariamente un polinomio. Acabo de dar ejemplos con polinomios porque es lo más fácil.

Una función completa es, técnicamente, una función de una variable compleja.
¿Qué quieres decir con que sabes? ( F ( z 1 ) − F ( z 2 ) ) / ( z 1 − z 2 ) esta entero?
Desde F es entera tiene una serie de potencias F = ∑ a norte ( z − z 2 ) norte acerca de z 2 . Use esto para derivar la serie de potencias de gramo ( z ) = F ( z ) − F ( z 2 ) ( z − z 2 ) 2 . Esto tendrá un polo a menos que se cumplan algunos criterios que le darán su respuesta.
@ Winter, parece interesante. Pero me confundió.
@Winther Parece que estás abordando una pregunta diferente. Todavía me gustaría saber qué quiere decir el OP con " ( F ( z 1 ) − F ( z 2 ) ) / ( z 1 − z 2 ) " es entero. Hay dos variables allí.
edité Todo debería estar claro ahora. Por cierto, no puedo iniciar sesión correctamente. Espero que esta no sea mi última actividad. Estoy usando la cuenta de recuperación ahora.

Respuestas (1)

En particular, desea

z ↦ F ( z ) − F ( z 2 ) ( z − z 2 ) 2
ser entero para cada fijo z 2 . Pero dado que (localmente)
F ( z ) − F ( z 2 ) = F ′ ( z 2 ) ( z − z 2 ) + 1 2 F ″ ( z 2 ) ( z − z 2 ) 2 + ⋯
esto solo pasa cuando F ′ ( z 2 ) = 0 . (De lo contrario, la función de una variable anterior tiene un polo en z = z 2 .) Pero z 2 fue arbitrario, así que de hecho F ′ ( z ) = 0 para todos z , es decir F debe ser constante.

Por el contrario, es obvio que las funciones constantes son soluciones.

Supongo que esto es a lo que Whinter apuntaba. parece correcto +1.
Determine si f(z1)−f(z2)(z1−z2)2f(z1)−f(z2)(z1−z2)2\frac{f(z_1) - f(z_2)}{(z_1 - z_2) ^2} está completo.
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