cuál es el límite de lim(x,y)→(0,0)sin(2x+2y)−2x−2yx2+y2√lim(x,y)→(0,0)sin⁡(2x+2y)−2x −2yx2+y2\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(2x+2y)-2x-2y}{\root\of {{x^2+y^2} }}

Limite de

límite ( X , y ) → ( 0 , 0 ) pecado ⁡ ( 2 X + 2 y ) − 2 X − 2 y X 2 + y 2

¿Cómo se puede evaluar este límite?
Intenté usar coordenadas polares como X = r porque ⁡ θ y y = r pecado ⁡ θ . poner la cosa en el pecado no se convierte en algo aseado.
También traté de evaluar a lo largo de diferentes caminos. Pero no sé cómo eso ayuda.

Editar: también podría probar que el límite que encontró es el límite real usando el ϵ − d método.

¡Gracias!

En primer lugar, necesitamos tener una idea aproximada de lo que está pasando. Tenga en cuenta que el numerador está en la forma pecado ⁡ t − t ∼ t 3 / 6 con t = r ⋅ 2 ( porque ⁡ θ + 2 pecado ⁡ θ ) y el denominador es r .

Respuestas (1)

PISTA

tenemos eso

pecado ⁡ ( 2 X + 2 y ) − 2 X − 2 y X 2 + y 2 = 2 X + 2 y X 2 + y 2 ⋅ ( pecado ⁡ ( 2 X + 2 y ) 2 X + 2 y − 1 )

+1 ¡Gracias por la respuesta! Después de eso, ¿necesitamos calcular el límite por separado para los dos términos y luego multiplicarlos? Pero creo que el límite para 2 X + 2 y X 2 + y 2 no existe?
@SmarthBansal Basta con mostrar que el término LHS está acotado.
@SmarthBansal para el término RHS solo toma 2 X + 2 y = t → 0 como variable.
Te tengo, buena solución. Lo último, si quisiera probar que el límite es cero usando ϵ − d método ¿cómo sería eso?
La misma manipulación puede ser útil para reducir para probar que ( pecado ⁡ ( 2 X + 2 y ) 2 X + 2 y − 1 ) → 0 que se reducen a ( pecado ⁡ ( t ) t − 1 ) → 0 .
cuál es el límite de lim(x,y)→(0,0)sin(2x+2y)−2x−2yx2+y2√lim(x,y)→(0,0)sin⁡(2x+2y)−2x −2yx2+y2\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(2x+2y)-2x-2y}{\root\of {{x^2+y^2} }}
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v