Poseer derivada para una función compleja de una variable compleja vs Ser diferenciable para una función R2→R2R2→R2\Bbb R^2\to\Bbb R^2 correspondiente

Asumir$f(z)$es una función compleja de una variable compleja$z$. La definición de$f$que posee un derivado en$z$es la existencia del limite

$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.$$ Véase, por ejemplo,$\S$1.1 de "Análisis complejo (3.ª ed.)" de Lars V. Ahlfors.

Una función vectorial multivariada$\mathbf{f}$mapeo desde$\Bbb R^n\to\Bbb R^m$es diferenciable en$\bf{x}$si hay una transformacion lineal$A$de$\Bbb R^n$en$\Bbb R^m$tal que

$$\lim\limits_{{\bf{h}}\to\bf{0}}\frac{|{\bf{f}}({\bf{x}}+{\bf{h}})-{\bf{f}}({\bf{x}})-A{\bf{h}}|}{|{\bf{h}}|}=0,$$ que es equivalente a $$\lim\limits_{{\bf{h}}\to\bf{0}}\frac{|{\bf{r}}({\bf{h}})|}{|{\bf{h}}|}=0,$$ dónde${\bf{r}}({\bf{h}})={\bf{f}}({\bf{x}}+{\bf{h}})-{\bf{f}}({\bf{x}})-A{\bf{h}}$. Véase, por ejemplo, la sección "DIFERENCIACIÓN" en el Capítulo 9 de "Principles of Mathematical Analysis (3rd Ed.)" de Rudin.

He tenido la tentación de pensar en funciones complejas de una variable compleja$f(z)=u(z)+iv(z)$como un$\Bbb R^2\to\Bbb R^2$función$\mathbf{f}(\mathbf{x})$dónde$\mathbf{x}=(x,y)$corresponde a$z$y$\mathbf{f}=(u,v)$, y posteriormente la condición de que$f(z)$posee derivado en$z$(primer párrafo) es equivalente a (es decir, pueden implicarse entre sí)$\mathbf{f}$siendo diferenciable en$\mathbf{x}$con$n=m=2$(segundo parrafo). Pero hoy, cuando pensé más en esto, me encontré frente a una contradicción obvia que surge del siguiente teorema (P26 de "Análisis complejo (3ra ed.)" de Ahlfors):

Si$u(x,y)$y$v(x,y)$tienen derivadas parciales continuas de primer orden que satisfacen las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann, entonces$f(z) = u(z) + iv(z)$es analítico con derivada continua$f'(z)$, y por el contrario.

Si la afirmación de equivalencia anterior fuera correcta, la continuidad de las derivadas parciales de primer orden garantizará la diferenciabilidad de$\mathbf{f}$(por, por ejemplo, el Teorema 9.21 sobre P219 del texto de Rudin) y a su vez que$f$posee derivado. Entonces las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann serían inútiles en la demostración. Dado que el texto de Ahlfors es tan clásico, estoy seguro de que esta condición es indispensable (supongo que se necesita en la línea 11 y 12 de P26 en el texto de Ahlfors, ¿no?). Como resultado, la afirmación de equivalencia en el párrafo anterior debe ser incorrecta. Luego traté de averiguar por qué demonios no son equivalentes. Más tarde llegué a un punto que (1)$\Rightarrow$(2) mientras (2)$\not\Rightarrow$(1), donde (1) representa$f$derivada poseedora y (2) para la correspondiente$\Bbb R^2\to\Bbb R^2$función$\mathbf{f}$siendo diferenciable. Es decir, (1) es más fuerte que (2). Supongo que la fuerza proviene del hecho de que$\Bbb C$define una operación de multiplicación, que no está disponible en$\Bbb R^2$. La contradicción se puede resolver mediante esta relación: la continuidad de las derivadas parciales de primer orden establece (2), pero necesitamos condiciones adicionales (las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann) para llegar a una conclusión más fuerte (1).

Para mostrar la relación anterior, primero, di una prueba de (1)$\Rightarrow$(2): Suponga que la derivada es un número complejo$\alpha$y definimos transformación lineal según la multiplicación de números complejos: si${\bf{h}}=(x,y)$,$A{\bf{h}}\cong\alpha(x+iy)$(una isometría entre$\Bbb R^2$y el plano complejo). Desde$\lim\limits_{z\to0}|f(z)|=0$si y si$\lim\limits_{z\to0}f(z)=0$, tenemos

$$\begin{eqnarray} \lim\limits_{{\bf{h}}\to\bf{0}}\frac{|{\bf{f}}({\bf{x}}+{\bf{h}})-{\bf{f}}({\bf{x}})-A{\bf{h}}|}{|{\bf{h}}|}&=&\lim\limits_{h\to0}\frac{|f(x+h)-f(x)-\alpha h|}{|h|}\\ &=&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)-\alpha h}{h}\\ &=&\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\alpha\\ &=&\alpha-\alpha=0 \end{eqnarray}$$ Para 2)$\not\Rightarrow$(1): A partir de la formulación equivalente de diferenciabilidad, tenemos$f(z+h)-f(z)=A{\bf{h}}+r(h)$dónde$r(h)=o(h)$. si podemos escribir$A{\bf{h}}\cong\alpha h$para algún número complejo$\alpha$como en el último párrafo, entonces la derivada de$f$es inmediato Pero la cosa es que no podemos (al menos yo no puedo).$A{\bf{h}}/h$no es necesariamente un número complejo constante para una transformación lineal general dada$A$. Por eso (2) no implica (1).

Ahora viene mi pregunta: 1) ¿Es cierto que poseer derivada para una función compleja de una variable compleja no es equivalente a su correspondiente$\Bbb R^2\to\Bbb R^2$siendo la funcion diferenciable? 2) Es mi relación que (1)$\Rightarrow$(2) mientras (2)$\not\Rightarrow$(1) un argumento correcto para explicar esta inequivalencia? 3) ¿Hay algo incorrecto (o poco riguroso) a lo largo de mi argumento? Gracias.