¿Qué genera la curvatura que es necesaria para enrollar dimensiones extra?

Las dimensiones extra compactas no son curvas, o más precisamente, no son necesariamente curvas.

Como analogía, considere comenzar con una hoja plana de papel y enrollarla para formar un cilindro. La curvatura intrínseca sigue siendo cero, es decir, un flatlander confinado a la superficie encontraría que la geometría sigue siendo euclidiana. El cilindro nos parece curvo debido a la forma en que se incrustó en nuestro espacio 3D.

El enrollamiento de las dimensiones extraespaciales es análogo a esto, aunque la superficie que forman es obviamente más complicada que un cilindro. Durante mucho tiempo se supuso que formarían una variedad de Calabi-Yau, aunque creo que ahora se está empezando a cuestionar con el fracaso en encontrar supersimetría de baja energía. De todos modos, la variedad de Calabi-Yau puede ser intrínsecamente plana como un cilindro o quizás un mejor ejemplo sería un toro de seis.

Esto no significa que la curvatura en las dimensiones adicionales deba ser cero, solo que puede ser cero.

En cuanto a cómo se estabilizan las dimensiones compactas, la primera propuesta que conozco para esto fue el mecanismo KKLT .

Vale la pena señalar primero que el modelo estándar se basa en geometrías exóticas, eso si uno piensa en ellas geométricamente. Tomemos por ejemplo la fuerza fuerte. Antes de cuantificarse, se describe como un$SU(3)$paquete en el espacio-tiempo. Esto solo significa que el espacio-tiempo tiene una geometría 'interna' que parece$SU(3)$, y este es un grupo, el grupo de transformaciones unitarias especiales en 3 dimensiones complejas; esto es difícil de visualizar, pero hay una descripción topológica más agradable, es$S^3$, la 3 esfera que es la superficie de la bola sólida 4d.

Así que aquí ya tenemos una imagen del espacio-tiempo con una geometría exótica. Si puedes imaginarlo, un átomo de espacio-tiempo no es 4d, sino 7d; y estos átomos, a diferencia de los átomos reales, no son distintos, sino que cambian continuamente de un punto a otro. La curvatura del haz se manifiesta como la intensidad del campo.

El electromagnetismo es similar; de hecho, fue el precursor directo de las teorías de la fuerza débil y fuerte, por lo que esto no sorprende; aquí, la geometría del punto es$U(1)$. Esto es topológicamente lo mismo que un círculo; entonces necesitamos agregar otra dimensión para esto. Esto hace que la dimensión de un punto de espacio-tiempo sea 8d. La fuerza débil agrega$SU(2)$, y esto es topológicamente hablando la doble cubierta de$SO(3)$, el grupo de rotación en 3d. Este tiene 3 grados de libertad. Entonces, en total, tenemos 11 dimensiones en cada punto del espacio-tiempo; u otra forma de decir lo mismo, 11 grados de libertad.

Ahora, mientras que la teoría de cuerdas bosónica es 26d; los principales contendientes, las cinco teorías de supercuerdas son 10d; La teoría M tenía 11d. Así que en estas últimas teorías no estamos lejos de los grados reales de libertad en un punto del espacio-tiempo.

Ahora, es la curvatura del paquete de electromagnetismo lo que se manifiesta como la fuerza del campo electromagnético; localmente, después de elegir una base, esta se divide en campos eléctricos y magnéticos; una historia similar puede decirse de los otros campos de Yang-Mill: la fuerza débil y la fuerza fuerte.

Sin embargo, todo esto antes de que las teorías se cuantifiquen.

Probablemente valga la pena agregar en este punto que fue la geometrización de la gravedad de Einstein lo que inspiró a Weyl a introducir un esquema similar para el electromagnetismo, el principio de calibre, y que, más de medio siglo después, condujo a la imagen geométrica actual de las teorías de calibre. Surge la pregunta de si esta imagen geométrica es algo más que una conveniencia matemática que ayuda a los físicos y matemáticos a comprender y trabajar mejor con la teoría. Un ejemplo de ello es la gravedad, postula la curvatura del espacio-tiempo. Ahora tenemos evidencia directa de eso a través de lentes gravitacionales. De hecho, podemos ver la curvatura en acción.

Dado que la geometría cambia en lo muy grande, lejos de nuestra experiencia ordinaria y cotidiana aquí en esta tierra, uno puede entonces ser llevado a la idea de que la geometría también puede cambiar en lo muy pequeño. Probablemente una de las primeras pruebas que apuntan hacia esto es el descubrimiento de los espinores. Michael Atiyah dijo que, en cierto sentido, son 'la raíz cuadrada de la geometría'; otra prueba es el experimento de Ahranov-Bohm que sugiere que no es el campo eléctrico o magnético lo fundamental, sino el potencial electromagnético que originalmente se consideró una forma conveniente de hablar de problemas físicos con el electromagnetismo. Esto nuevamente es una expresión de curvatura y entra directamente en el acoplamiento del campo electromagnético con el electrón en la ecuación de Diracs.

La diferencia con esto y la teoría de cuerdas es que las dimensiones adicionales se postulan como espacio real; uno puede tomarlo desde un punto de vista puramente pragmático, en la forma en que los teóricos de partículas toman la teoría de calibre y piensan en ella como simplemente otra forma de pensar sobre la física para obtener una imagen completamente unificada. Después de todo, ese tipo de imagen espacial ya ha demostrado su valor en el espacio de estados cuánticos de Hilbert, que está directamente inspirado en nuestro propio espacio euclidiano 3D.

En cuanto a su otra pregunta sobre qué genera esta curvatura. No estoy seguro de que esta sea una pregunta que se aborde en absoluto en la teoría. Las dimensiones compactas están dadas por decreto, de la misma manera que las tenemos en la teoría clásica de campos que subyace al modelo estándar. La pregunta principal aquí es obtener una descripción fenomenológica precisa de la física que todos conocemos y amamos.

Parece que el OP está pidiendo "causalidad", no técnica para la compactación.

La propuesta de que existen dimensiones adicionales nos lleva por un camino que (1) proporciona grados de libertad para expresar campos de calibre usando geometría diferencial y (2) conduce a un problema naturalista. Es decir, qué mecanismo justifica la compactación. Los teóricos no siempre se preocupan por responder a esa pregunta.

Cabe señalar que en los primeros días de la unificación, los teóricos también jugaban con dimensiones adicionales que no eran compactas, es decir, copias adicionales de R^1. Esto cumple la tarea de los campos adicionales. La aparición de una descripción geométrica del campo EM y otros campos fue atractiva, pero también introdujo campos adicionales con los que nadie sabía qué hacer. Al principio "les desearon que se fueran". Esto llevó al resultado de que EM está incrustado en una teoría geométrica de dimensiones superiores, pero realmente no podemos averiguar qué hacer con los "campos adicionales". Estos campos adicionales no solo fueron desconcertantes para los teóricos, sino que resulta que "desearlos" conduce a una configuración que no es una solución para las ecuaciones de campo. Este es un problema aún mayor, la inconsistencia. Michael Duff (no estoy 100% seguro del nombre) revivió estas teorías al mostrar que uno puede construir una teoría dimensional superior que tiene campos adicionales que desaparecen y que es consistente con las ecuaciones de campo (un gran problema). Usar dimensiones extra compactas y tomar el límite cuando el radio llega a cero hace que los términos desaparezcan legítimamente. Esto significa que la física que conocemos puede extraerse de estas teorías hasta cierto punto. También significa que si esas dimensiones se aflojaran, "veríamos" esos campos adicionales, es decir, podrían excitarse y tener un efecto medible en 4-dim. Pero nada explica por qué estos grados de libertad extraespaciales son como son, es una configuración asumida que no viola la coherencia lógica. Esto significa que la física que conocemos puede extraerse de estas teorías hasta cierto punto. También significa que si esas dimensiones se aflojaran, "veríamos" esos campos adicionales, es decir, podrían excitarse y tener un efecto medible en 4-dim. Pero nada explica por qué estos grados de libertad extraespaciales son como son, es una configuración asumida que no viola la coherencia lógica. Esto significa que la física que conocemos puede extraerse de estas teorías hasta cierto punto. También significa que si esas dimensiones se aflojaran, "veríamos" esos campos adicionales, es decir, podrían excitarse y tener un efecto medible en 4-dim. Pero nada explica por qué estos grados de libertad extraespaciales son como son, es una configuración asumida que no viola la coherencia lógica.

Estas mismas ideas están conectadas con la moderna teoría de calibre, donde uno acopla un grupo de simetría interna a la variedad. La diferencia aquí es que la variedad del grupo de simetría interna está "congelada". No puede respirar, expandirse o contraerse. Muere no tiene una dinámica propia. En las teorías de Kaluza-Klein, dado que las porciones adicionales de la variedad se deben a la geometría de un espacio-tiempo dimensional más grande, y las dimensiones adicionales pueden expandirse y contraerse de acuerdo con una versión dimensional superior de las ecuaciones de Einstein. Esto debería permitirle a uno desarrollar una teoría que explique "POR QUÉ" las dimensiones se contraen y encogen. No puedo decir si alguien ha desarrollado explícitamente un modelo de este tipo (no me he mantenido al día con la literatura sobre esto). Pero es posible explicar por qué algunas dimensiones se contraen y otras se expanden.

Pero como nota final, asumir que las dimensiones adicionales son abiertas o cerradas (una línea o un plano, un círculo, una esfera u otra variedad) impone alguna restricción a la topología, no a la geometría. No creo que sea posible que un tensor de energía de tensión material cambie realmente la topología, es decir, que de alguna manera haga que una línea infinita se acerque a un círculo. Lo que estas teorías están diciendo es que si comenzamos con la suposición de que las dimensiones adicionales son cerradas (es decir, una variedad compacta) tenemos la posibilidad de encogernos por algún mecanismo.

Si realmente estás interesado en aprender cómo funcionan estas técnicas y cómo han evolucionado con el tiempo, te recomiendo:

Introducción a la Teoría de la Relatividad por Peter G. Bergmann

El amanecer de la teoría de calibre por Lochlainn O'Raifeartaigh

Estos pueden ser libros antiguos, pero son muy buenos. El Apéndice del libro de Bergmann tiene una derivación de la teoría KK con una dimensión adicional.