Derivar fuerzas generalizadas usando el principio de Hamilton

Cuando derivas la ecuación de Euler-Lagrange usando el principio de D'Alembert, encuentras que

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j$$ dónde $$Q_j=\vec{F}·\frac{d\vec{r}}{dq_j}$$ (Goldstein, p. 23-24). Pero si usa el principio de Hamilton y algún cálculo de variaciones (Goldstein, p. 44 ff.), solo obtiene la fórmula con $Q_j=0$. ¿Es posible poner las fuerzas generalizadas en la ecuación de Euler-Lagrange sin derivarla del principio de D'Alembert? Traté de usar algún tipo de multiplicador de lagrange para insertar fuerzas adicionales, pero no pude derivarlo.