Deducir la relación entre la función de trabajo y la energía potencial.

I) Olvídate del libro y la terminología de Lanczos por un momento. Recordar que

1. el lagrangiano

   $$\tag{1}L(q,v,t)~=~T(q,v,t)-U(q,v,t)$$ suele tener la forma término cinético menos término potencial, donde$U(q,v,t)$es el potencial generalizado (posiblemente dependiente de la velocidad).

2. la función de energía lagrangiana generalmente se define como$^1$

   $$\tag{2}h_L(q,v,t)~:=~ v\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial v}-L(q,v,t).$$

3. si el lagrangiano$L$no depende explícitamente del tiempo$t$, entonces la energía$h$se conserva en la concha.

II) Ahora vamos a definir

$$\tag{3} h_T(q,v,t)~:=~ v\frac{\partial T(q,v,t)}{\partial v}-T(q,v,t),$$ y $$\tag{4} h_U(q,v,t)~:=~ v\frac{\partial U(q,v,t)}{\partial v}-U(q,v,t).$$ Entonces $$\tag{5} h_L(q,v,t)~=~h_T(q,v,t)-h_U(q,v,t).$$ Tenga en cuenta que (3) es solo el término cinético $h_T=T$si $T$es cuadrático en las velocidades $v$.

III) Ahora volvamos a la notación de Lanczos.

1. Lo que Lanczos llama la función de trabajo es menos el potencial generalizado anterior$U$.

2. Lo que Lanczos llama energía potencial es

   $$\tag{6} V(q,v,t)~:=~-h_U(q,v,t).$$

Tenga en cuenta que la ec. (6) no es una transformación de Legendre de algunas variables. Lanczos hace esta definición (6) de modo que llega a decir que la energía total (2) es la suma $h_L=T+V$de la energía cinética y potencial cuando$T$es cuadrático en las velocidades$v$.

Referencias:

1. C. Lanczos, Los principios variacionales de la mecánica, 1949.

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$^1$La función de energía$h_L(q,v,t)$en el formalismo lagrangiano corresponde al hamiltoniano$H(q,p,t)$en el formalismo hamiltoniano . Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.