Cálculo explícito de generar funcional para campo escalar complejo. ¿Dónde está mi error?

El funcional generador (todo esto es abreviado, escribo F en lugar de lo acostumbrado φ para látex más rápido):

Z [ j , j ∗ ] = ∬ D F D F ∗ Exp ⁡ i ∫ X ( F X ∗ A F X + j X F X ∗ + j X ∗ F X )

con A = − ( ◻ + metro 2 ) , propagador A D X y = i d X y . Cambio F → F + i ∫ y D X y j y . La medida no cambia. El exponente viene dado por (integrales implícitas en índices repetidos):

( F X ∗ − i D X y ⋅ j y ∗ ) ( A F X − j X ) + j X F X ∗ + j X ∗ F X + i j X ∗ ⋅ D X y ⋅ j y − i j X ⋅ D X y ⋅ j y ∗ =
= F A F − j F ∗ − i D X y ⋅ j y ∗ ⋅ A F X + i j X ⋅ D X y ⋅ j y ∗ + j F ∗ + j ∗ F + i j X ∗ ⋅ D X y ⋅ j y − i j X ⋅ D X y ⋅ j y ∗

Hay 8 términos. Se supone que los términos 1 y 7 deben permanecer. Los términos 2 y 5 cancelan. Los términos 4 y 8 cancelan. Los términos 3 y 6 deben cancelarse pero no lo hacen. A se puede mover con dos integraciones por partes:

− i D X y ⋅ j y ∗ ⋅ A F X = − i A D X y ⋅ j y ∗ ⋅ F X = j X ∗ ⋅ F X = j ∗ F

En lugar de cancelar, agregan. Falta un signo menos. He hecho este cálculo al menos cinco veces, no puedo encontrarlo. Agradecería si alguien pudiera mostrarme dónde cometí un error o vincularme con este cálculo explícito (debe resolverse en alguna parte, este es un ejercicio popular).

¿Empiezo a pensar que esto podría ser un problema conceptual más que de cálculo? ¿Quizás el signo menos emerge de alguna manera del complejo conjugado? Este cálculo debería ser totalmente análogo al caso real, pero por alguna razón, no me funciona.

¿Estás seguro de haber integrado por partes correctamente? Por lo que puedo ver, el término del borde tiene un signo menos, pero el término restante (que le está causando problemas) tiene un signo más.
Bueno, estoy integrando dos veces por partes, los términos fronterizos desaparecen y A es solo una doble derivada esencialmente, por lo que no hay cambio de signo
@Akoben sí, hice ese hilo. No es realmente relevante aquí. La integración por partes aparentemente no es el problema.
¿Cuál es el objetivo del ejercicio? ¿Estás tratando de integrar el campo escalar?

Respuestas (1)

Suponiendo que desea integrar el campo escalar, le daré una respuesta. Lo que se necesita en ese caso es completar el cuadrado . Uno puede demostrar los conceptos básicos en álgebra simple.

Supongamos que uno tiene

pag = A X y + B X + C y ,
uno puede escribir esto (pedantemente) como
pag = X A y + X 1 A A B + C A 1 A y .
La idea ahora es sumar y restar el mismo término para permitir que uno complete el cuadrado. Por eso,
pag = X A y + X A 1 A B + C 1 A A y + C 1 A A 1 A B − C 1 A A 1 A B = ( X + C 1 A ) A ( y + 1 A B ) − C 1 A B .

Queremos hacer el análogo de esto en la teoría de campos escalares. Entonces, lo que tienes es una función generadora (cambiando la noción libremente)

Z [ j , j † ] = ∫ Exp ⁡ ( i ∫ L [ j , j † ] ) D [ ϕ , ϕ † ] ,
dónde
L [ j , j † ] = ϕ † D ϕ + ϕ † j + j † ϕ ,
con D que denota el operador en la ecuación de movimiento. Para completar el cuadrado comenzamos escribiéndolo como
L [ j , j † ] = ϕ † D ϕ + ϕ † D GRAMO j + j † GRAMO D † ϕ ,
dónde GRAMO es el propagador (función de Green) tal que D GRAMO = 1 . Ahora sumamos y restamos el término apropiado
L [ j , j † ] = ϕ † D ϕ + ϕ † D GRAMO j + j † GRAMO D ϕ + j † GRAMO D GRAMO j − j † GRAMO D GRAMO j = ( ϕ † + j † GRAMO ) D ( ϕ + GRAMO j ) − j † GRAMO j .
Ahora uno puede cambiar las fuentes a los campos escalares e integrar el campo escalar para que solo quede el propagador, vestido por los campos fuente.

El problema es, en mi convención, D GRAMO = i , que produce un signo menos extraño
Me lo imaginé. Parece que es un error simplemente cambiar un campo, porque son grados de libertad independientes.
Excelente. Me alegro de que pudieras resolver el problema.
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