¿Cómo se realiza la integral funcional sobre el momento en el caso del campo escalar real?

Eso no es un saludo manual y creo que esta pregunta en particular está cubierta en prácticamente todos los libros de texto que contienen integrales de ruta. En primer lugar, debe tener en cuenta que podemos integrar por$\pi$sin tocar el segundo exponente, es decir

$$\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle =\int \mathcal{D}\phi e^{i\int_0^T d^4x\mathcal{L}}\int\mathcal{D}\pi e^{i\int_0^Td^4x\Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi-\frac{i}{\sqrt{2}}\partial_t\phi\Big)^2}$$

La integral de trayectoria es en realidad un límite de integrales regularizadas, como si tomamos los valores de$\pi$no en un continuo, sino sólo en una red. Para empezar olvídate de las coordenadas espaciales y calcula la siguiente integral,

$$\begin{eqnarray}\int \prod_{k=0}^{N-1}\frac{d\pi_k}{2\pi}\exp\left({i\sum_{k=0}^{N-1} \Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi_k-\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{\phi_{k+1}-\phi_k}{t_{k+1}-t_k}\Big)^2(t_{k+1}-t_k)}\right)\\ =\prod_{k=0}^{N-1}\int \frac{d\pi_k}{2\pi}\exp\left({i\Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi_k-\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{\phi_{k+1}-\phi_k}{t_{k+1}-t_k}\Big)^2(t_{k+1}-t_k)}\right)\end{eqnarray}$$ , que es un producto de las integrales gaussianas habituales.

Te sugiero que calcules esta integral y tomes el límite$N\rightarrow+\infty$. Hay una parte importante: como la integral habitual, para definirse correctamente, su integral de ruta no debe depender del método que introdujo en la red. También considere integrales con diferentes operadores cuadráticos como por ejemplo

$$\int \mathcal{D}\phi e^{i\int_0^T dt \Big((\partial_t\phi)^2-m^2\phi^2\Big)}$$ lo que le dará un propagador para un oscilador armónico. Luego, puede aplicar sus habilidades a las integrales de ruta QFT con algún operador cuadrático y descubrir que obtendrá una generalización muy simple de la fórmula integral gaussiana habitual.