¿Cómo resuelvo esta integral de trayectoria gaussiana?

solo divides$\phi$a la parte real e imaginaria, para que quede claro:

$$\phi = f + ig, \quad \phi^* = f-ig, \quad f,g\in{\mathbb R}$$ Hasta algún factor de normalización totalmente universal, la medida de integración es simplemente $$\int {\mathcal D} f \,\,{\mathcal D} g$$ y el exponente en el exponencial se puede escribir como $$[(f-ig) A + (f+ig) B] (f+ig)$$ escribiendo la columna $(f,g)^T$como $h$, la expresión bilineal anterior no es otra cosa que $$h M h$$ donde la matriz $M$es, en forma de bloque diagonal, $$M = \left(\begin{array}{cc}A+B&-iA+iB\\iA+iB&A-B\end{array}\right)$$ Ahora, supongo que puedes calcular la integral. $$\int {\mathcal D} h\,\exp(hMh)$$ que es completamente análoga a la $\exp(\phi^* A \phi)$integral. Sin embargo, con la matriz $M$basta, la integral es infinita porque $M$es singular (infinito, debido a direcciones planas) porque la segunda fila (de bloques) es $i$veces la primera. Sin embargo, obtendrá un resultado no singular si el exponente también contiene el conjugado hermitiano $\phi^* B^\dagger \phi^*$o algo así.

Si hay errores algebraicos arriba, debería ser posible corregirlos.