Derivadas exteriores y covariantes

¿Se garantiza que lo siguiente sea cierto para cualquier vector covariante?$f_\mu$(1-formulario$\boldsymbol{f}$) en ausencia de torsión?

$$\nabla_{[\alpha}\nabla_{\beta}f_{\mu]}=\partial_{[\alpha}\partial_{\beta}f_{\mu]}=\boldsymbol{d}\boldsymbol{d}\boldsymbol{f}=0,$$ dónde $\nabla_{\alpha}$es la derivada covariante, $\partial_{\beta}$es la derivada parcial, y $\boldsymbol{d}$es la derivada exterior, y los corchetes en el subíndice significan antisimetrización.

$\partial_{[\alpha}\partial_{\beta}f_{\mu]}=\boldsymbol{d}\boldsymbol{d}\boldsymbol{f}$es solo la definición de$\boldsymbol{d}$y está en todas partes en los libros de texto, y el hecho de que sea cero también está en todas partes. Así que mi verdadera pregunta es:

¿Es siempre cierto lo siguiente?

$\nabla_{[\alpha}\nabla_{\beta}f_{\mu]}=\partial_{[\alpha}\partial_{\beta}f_{\mu]}$