Derivada covariante de una derivada covariante

El término$\nabla_b V_c$es una escritura de tensor (0,2) en la notación de índice abstracto, cuando se escribe en forma de base completa se lee

$$\begin{equation} \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c\;, \end{equation}$$ Ahora el estado de $\nabla_b V_c$es un componente es una función escalar mientras que $dx^b\otimes dx^c$es una base de (0,2)-tensor.

Entonces la derivada covariante doble se lee

$$\begin{equation} \nabla \Big( \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c \Big)\;, \end{equation}$$ dónde $$\nabla_b V_c \equiv \partial_b V_c -\Gamma_b{}^q{}_c V_q\;.$$ La regla de Leibniz es necesaria en este paso. $$\begin{eqnarray} \nabla \Big( \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c \Big)&=& \nabla \Big( \nabla_b V_c \Big)\;dx^b\otimes dx^c + \nabla_b V_c \;\nabla \Big( dx^b \Big)\otimes dx^c + \nabla_b V_c \;dx^b\otimes \nabla \Big( dx^c \Big)\;,\\ &=& \nabla_m \Big( \overbrace{ \nabla_b V_c}^{a\; scalar} \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c + \nabla_b V_c \;\times \Big(-\Gamma^b{}_n dx^n \Big)\otimes dx^c \\&&+ \nabla_b V_c \;dx^b\otimes \times \Big( -\Gamma^c{}_p dx^p \Big)\;,\\ &=& \nabla_m \Big( \overbrace{ \nabla_b V_c}^{a\; scalar} \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c -\Gamma^b{}_n \nabla_b V_c \; dx^n \otimes dx^c \\&& -\Gamma^c{}_p \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^p \;,\\ &=&\partial_m \Big( \overbrace{ \nabla_b V_c}^{a\; scalar} \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c -\Gamma_r{}^b{}_n dx^{r} \otimes \nabla_b V_c \; dx^{n} \otimes dx^c \\&&-\Gamma_s{}^c{}_p dx^{s} \otimes \nabla_b V_c \;dx^b \otimes dx^{p} \;,\\ &=&\partial_m \Big( \nabla_b V_c \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c - \Gamma_r{}^b{}_n\nabla_b V_c \; dx^r \otimes dx^n \otimes dx^c \\&&-\Gamma_s{}^c{}_p \nabla_b V_c \;dx^s\otimes dx^b\otimes dx^p \;,\\ &=&\Big[\partial_m \Big( \nabla_b V_c \Big)- \Gamma_m{}^d{}_b\nabla_d V_c-\Gamma_m{}^e{}_c \nabla_b V_e\Big ]\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c \;. \end{eqnarray}$$ Entonces definimos $$\nabla \Big( \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c \Big)=:\nabla_m \nabla_b V_c \;dx^m \otimes dx^b\otimes dx^c$$ Finalmente, en notación de índice abstracto tenemos $$\nabla_m \nabla_b V_c \equiv \partial_m \Big( \nabla_b V_c \Big)- \Gamma_m{}^d{}_b\nabla_d V_c-\Gamma_m{}^e{}_c \nabla_b V_e$$

Manera fácil Permítanme enunciar primero la forma directa de hacer este cálculo.

$$\langle \nabla_a \nabla_b V, \partial_c\rangle = \partial_a \langle \nabla_b V, \partial_c \rangle - \langle \nabla_aV, \nabla_a \partial_c\rangle = \partial_a (\nabla_bV)_c - (\nabla_bV)_d \Gamma_{ac}^d$$

La primera igualdad se deriva de la compatibilidad, la segunda igualdad usa la definición de los símbolos de Levi-Civita.

Manera difícil Estás sugiriendo una forma indirecta de hacer esto, que se formaliza de la siguiente manera:

$$\nabla_a\nabla_bV = \nabla_a\left[~(\nabla_cV\otimes dx^c)[\partial_b]~\right] = \nabla_a\left[~C(\nabla_cV\otimes dx^c \otimes \partial_b)~\right] = C [\nabla_a (\nabla_cV\otimes dx^c \otimes \partial_b)]$$

dónde

$$C: T_pM \otimes T_pM \otimes T^*_pM \to T_pM, ~~ w\otimes z\otimes V \to z[V]w$$

es el mapa de contracción de los dos últimos argumentos. La derivada covariante en tensores de tipo mixto conmuta con contracciones (usado en la última igualdad). Observa la expresión dentro$C[ \cdots ]$es una derivada covariante de un tensor mixto, que puede calcular con la regla de Leibneiz y usar sus fórmulas favoritas de componentes.