Variación de la raíz cuadrada del determinante de la métrica, δgδg\delta g [cerrado]

Question

Variación de la raíz cuadrada del determinante de la métrica, δgδg\delta g [cerrado]

johnhenry

estoy tratando de calcular

\frac{\partial \sqrt{- gramo}}{\partial {gramo}^{m v}},

$\frac{\partial \sqrt{- g}}{\partial g^{\mu \nu}},$

dónde $g = \text{det} g_{\mu \nu}$ . Tenemos

\frac{\partial \sqrt{- gramo}}{\partial {gramo}^{m v}} = - \frac{1}{2 \sqrt{- gramo}} \frac{\partial gramo}{\partial {gramo}^{m v}},

$\frac{\partial \sqrt{- g}}{\partial g^{\mu \nu}} = - \frac{1}{2 \sqrt{-g}}\frac{\partial g}{\partial g^{\mu \nu}},$ entonces el problema se convierte en cómo calcular

\frac{\partial g}{\partial g^{μ ν}} .

$\frac{\partial g}{\partial g^{\mu \nu}}.$

he usado la identidad $\text{Tr}( \text{ln} M) = \text{ln} (\text{det} M)$ obtener, aplicándolo con $M = g^{\mu \nu}$ y variando:

d (Tr (en ({gramo}^{m v}))) = \frac{d gramo}{gramo}

$\delta (\text{Tr} (\text{ln} (g^{\mu \nu}))) = \frac{\delta g}{g}$

pero entonces estoy atascado. ¿Cómo puedo seguir? Sé que el resultado debería ser $-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} \sqrt{-g}$

Respuestas (2)

Variación de la raíz cuadrada del determinante de la métrica, δgδg\delta g [cerrado]

Michael Seifert · Answer 1

Usa la identidad que si $M$ es invertible y $\delta M$ es "pequeño" en comparación con $M$ , entonces nosotros tenemos

det (METRO + d METRO) = det (METRO) det (1 + {METRO}^{- 1} d METRO) \approx det (METRO) [1 + tr ({METRO}^{- 1} d METRO)] .

$\det (M + \delta M) = \det(M) \det( 1 + M^{-1} \delta M) \approx \det(M) \left[ 1 + \text{tr} (M^{-1} \delta M) \right].$ En el caso de la métrica, esto implica que

- det (gramo + d gramo) \approx - det (gramo) [1 + {gramo}^{a b} d {gramo}_{a b}]

$-\det(g + \delta g) \approx -\det(g) \left[ 1 + g^{ab} \delta g_{ab} \right]$ y entonces

δ (- g) = (- g) g^{a b} δ g_{a b}

$\delta (-g) = (-g) g^{ab} \delta g_{ab}$ .

Para completar el cálculo tendrás que relacionar $\delta g^{ab}$ a $\delta g_{ab}$ , pero esto debería ponerte en camino. Si esto no es un problema de tarea o similar, házmelo saber y puedo ampliar esta última parte.

jerry schirmer · Answer 2

El truco más fácil es escribir (digamos, en tres dimensiones. Para dimensiones más altas, agregue índices al símbolo de Levi-Civita y factores de g):

gramo = \frac{1}{3!} ϵ^{a b C} ϵ^{X y z} {gramo}_{a X} {gramo}_{b y} {gramo}_{C z}

$g = \frac{1}{3!}\epsilon^{abc}\epsilon^{xyz}g_{ax}g_{by}g_{cz}$

Entonces, la variación es fácil. Lo dejaré como ejercicio para calcular la variación y cómo traducir el resultado en factores de $g_{ab}$ y $g$

Para ser honesto, creo que esta es la mejor manera de pensarlo: solo estaba tratando de evitar introducir demasiada notación nueva en mi respuesta.

Variación de la raíz cuadrada del determinante de la métrica, δgδg\delta g [cerrado]

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