Estás en el camino correcto, pero hay más que decir. Para una introducción a este tema, recomiendo encarecidamente Spacetime and Geometry de Sean Carroll , que seguiré a continuación con el propósito de ilustrar dónde$\Gamma$viene de. El libro surgió de notas de conferencias, cuyo capítulo relevante se puede encontrar en línea aquí .

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Fondo algebraico

Nota: Esto es largo, pero solo porque cada paso se ha dividido en partes muy simples.

Desea una derivada direccional, algo que le diga cómo cambia un tensor a medida que avanza por algún camino en su variedad. Al igual que en el cálculo multivariable estándar, define esto como la suma de las derivadas de su objeto en cada dirección, ponderada por cuánto cambia su coordenada en esa dirección:

$$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}\lambda} := \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda} \nabla_\mu.$$ Aquí $\lambda$parametriza su ruta, y la derivada apropiada para usar es la derivada covariante . La función escalar $x^\mu$se está derivando con la derivada direccional estándar: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} := \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda} \partial_\mu.$$ Tenga en cuenta que esto es consistente con la derivada direccional totalmente covariante en el caso de las funciones escalares y, a pesar de las apariencias, esta no es una definición circular (debería poder diferenciar funciones conocidas de $\lambda$con respecto a $\lambda$).

La conexión afín se define simplemente como el conjunto de coeficientes necesarios para aumentar la derivada parcial para hacer una derivada covariante:

$$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} V^\lambda$$ para cualquier vector $\vec{V}$. Ni siquiera necesita saber cómo generalizar esto a derivadas covariantes de tensores arbitrarios.

La ecuación geodésica surge al imponer el requisito de que su curva transporte en paralelo su propio vector tangente. ¹ Es decir, la derivada direccional del vector tangente a lo largo de la dirección en la que apunta se anula. Un camino será un conjunto de funciones suaves.

$$\begin{align} x^\mu : \mathbb{R} & \to M \\ \lambda & \to x^\mu(\lambda), \end{align}$$ uno para cada coordenada $\mu$. Si denota el vector tangente en $\vec{x}(\lambda)$por $\vec{T}(\lambda)$, entonces $$T^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda}.$$

Poniendo todo esto junto, tenemos

$$\begin{align} 0 & = \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}\lambda} \left(\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}\lambda}\right) \\ & = \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda} \nabla_\mu \left(\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}\lambda}\right) \\ & = \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda} \left(\partial_\mu \left(\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}\lambda}\right) + \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\lambda}\right) \\ & = \frac{\mathrm{d}^2x^\sigma}{\mathrm{d}\lambda^2} + \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\lambda} \frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\lambda} \end{align}$$

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Resumen

Después de todo este (posiblemente demasiado) álgebra, el mensaje final es que la conexión surgió de la diferencia entre diferenciación parcial y covariante a lo largo de una curva. No es que queramos que la tangente de nuestra curva nunca apunte en una dirección dependiente de coordenadas diferente ($\ddot{x}^\lambda = 0$, que sería suficiente para "línea recta" en el espacio euclidiano). Más bien, queremos que el cambio en la dirección dependiente de las coordenadas que estamos señalando sea compensado por el hecho de que nuestro espacio tangente gira con respecto a nuestras coordenadas a medida que nos movemos a lo largo de la curva.

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¹ Algunas personas definen la geodésica en un sentido más global, como el camino que extrema la longitud del arco entre dos puntos. Estas definiciones concuerdan si y solo si la conexión afín que está utilizando es de hecho la conexión Christoffel libre de torsión y compatible con el sistema métrico.