Tensor de diferencia entre dos conexiones

La pregunta de OP probablemente se deba al hecho de que la Ref. 1 olvida mencionar que:

1. La otra conexión$\nabla:\Gamma(TM)\times \Gamma(TM)\to \Gamma(TM)$con símbolos inferiores de Christoffel

   $$\Gamma_{ij,k}~:=~ \Gamma_{ij}^{\ell}~g_{\ell k}\tag{1}$$ todavía se supone que es compatible con la métrica $$\nabla g = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \partial_kg_{ij}=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}.\tag{2}$$

2. El tensor de contorsión $K~\in~\Gamma\left(T^{\ast}M\otimes \bigwedge^2(T^{\ast}M)\right)$se define$^1$como la diferencia entre la métrica compatible$\nabla$y la conexión Levi-Civita $\nabla^{LC}$, es decir

   $$K_{i,jk}~:=~\Gamma_{ij,k}-\Gamma^{LC}_{ij,k} ~\stackrel{(2)}{=}~-K_{i,kj}.\tag{3}$$

3. El tensor de torsión $T~\in~\Gamma\left(\bigwedge^2(T^{\ast}M)\otimes T^{\ast}M \right)$se define$^1$como

   $$T(X,Y)~:=~\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$$ $$\quad\Leftrightarrow\quad T_{ij,k}~:=~\Gamma_{ij,k}-\Gamma_{ji,k}~\stackrel{(3)}{=}~K_{i,jk}-K_{j,ik}.\tag{4}$$

4. Se puede demostrar que la relación inversa a (4) es

   $$K_{i,jk}~\stackrel{(4)}{=}~ \frac{1}{2}\left(T_{ij,k}-T_{jk,i}+T_{ki,j}\right),\tag{5}$$ y viceversa.

5. Descompongamos el tensor de contorsión

   $$K_{i,jk} ~=~ \frac{1}{2}(K^+_{i,jk}+K^-_{i,jk}), \tag{7}$$ en componentes $$K^{\pm}_{i,jk}~:=~K_{i,jk}\pm K_{j,ik},$$ $$K^+_{i,jk}~=~T_{ki,j}+T_{kj,i}, \qquad K^-_{i,jk}~=~T_{ij,k}, \tag{8}$$ que son wrt simétricos/antisimétricos. los dos primeros índices$i\leftrightarrow j$.

6. La ecuación geodésica dice

   $$0~=~\nabla^{LC}_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} \qquad\Leftrightarrow\qquad \ddot{\gamma}^{\ell}~=~-\Gamma^{LC,\ell}_{ij}\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j$$ $$\qquad\Leftrightarrow\qquad -g_{k\ell}\ddot{\gamma}^{\ell}~=~\Gamma^{LC}_{ij,k}\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j.\tag{9}$$

7. Por el contrario, la ecuación autoparalela

   $$0~=~\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} \qquad\Leftrightarrow\qquad \ddot{\gamma}^{\ell}~=~-\Gamma^{\ell}_{ij}\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j$$ $$\qquad\Leftrightarrow\qquad -g_{k\ell}\ddot{\gamma}^{\ell}~=~\Gamma_{ij,k}\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j~=~\left(\Gamma^{LC}_{ij,k}+\frac{1}{2}K^+_{i,jk}\right)\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j\tag{10}$$ puede detectar la parte simétrica$K^+_{i,jk}$de la contorsión.

8. Observación:

   $$T_{ij,k} \text{ is totally antisymmetric} \qquad\Leftrightarrow\qquad K_{i,jk} \text{ is totally antisymmetric}$$ $$\qquad\Leftrightarrow\qquad K^+_{i,jk}~=~0.\tag{11}$$ En caso afirmativo, tenemos$T_{ij,k}=2K_{i,jk}$, y las ecuaciones geodésica y autoparalela (9) y (10) son iguales.

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$^1$Las aplicaciones pertinentes del isomorfismo musical quedan implícitamente implícitas de ahora en adelante.

En la página 17-18 de este artículo se explica cómo probar. Dice "Es posible invertir la ecuación de torsión para 'resolver' la conexión de espín en términos de la tétrada, sus derivadas y el tensor de torsión. Todo lo que hay que hacer es manipular la combinación$\left( T_{\nu\lambda\mu} + T_{\lambda\mu\nu} - T_{\mu\nu\lambda} \right)$y utilizar la invertibilidad de la (co-)tétrada. El resultado es:

$$\begin{eqnarray} % \omega_{\mu}\,^{IJ} & := & \hat{\omega}_{\mu}\,^{IJ}(e) + K_{\mu}\,^{IJ}(e, T) \\ % \hat{\omega}_{\mu}\,^{IJ} & := & \frac{1}{2}\left[ e^{\nu I}\left(\partial_{\mu} e_{\nu}^J - \partial_{\nu} e_{\mu}^J\right) - e^{\nu J}\left(\partial_{\mu} e_{\nu}^I - \partial_{\nu} e_{\mu}^I\right) - e^{\nu I} e^{\lambda J} \left(\partial_{\nu}e^K_{\lambda} - \partial_{\lambda}e^K_{\nu} \right) e_{\mu K} \right] \\ % K_{\mu}\,^{IJ} & := & - \frac{1}{2} e^{\nu I} e^{\lambda J} \left( T_{\nu\lambda\mu} + T_{\lambda\mu\nu} - T_{\mu\nu\lambda} \right) % \end{eqnarray}$$

El$K$se llama tensor de con-torsión y$\hat{\omega}$es la conexión de espín libre de torsión que está explícitamente determinada por la tétrada. La ecuación de conexión afín es la inversión correspondiente de la condición de compatibilidad métrica (constancia covariante de la métrica) para expresar la conexión afín general en términos de la conexión de Christoffel libre de torsión más las combinaciones de torsión.