Derivada covariante de calibre de una acción adjunta: ψ(x)→gψ(x)g−1ψ(x)→gψ(x)g−1\psi(x) \to g \psi(x) g^{-1} , en lugar de una acción izquierda ψ(x)→eiqθ(x)ψ(x)ψ(x)→eiqθ(x)ψ(x)\psi(x)\to e^{iq\theta(x)} \ psi(x)

Primero, permítanme aclarar una posible confusión: como ha etiquetado la pregunta como "electromagnetismo", asumo que está buscando un$U(1)$simetría. En este caso, el adjunto no se transforma, ya que el grupo es abeliano (puedes verlo porque si$\psi(x)$está en una representación irreducible, entonces es solo una función compleja, no un vector:$g$y$\psi$viaje, por lo que la transformación es la identidad). Entonces su pregunta es trivial para el electromagnetismo: la derivada covariante de un campo$\psi(x)$en la representación adjunta es solo la derivada estándar.

Pero veamos la respuesta para un grupo no abeliano de todos modos. un campo$\psi(x)$en la representación adjunta será una combinación lineal de los generadores$T^a$de la representación adjunta (dada por las constantes de estructura). ¿Cómo se obtiene la derivada covariante de tal cosa? ¡Pues de la propia transformación!

Como estoy siguiendo un libro (Michele Maggiore "Una introducción moderna a la teoría cuántica de campos), perdónenme por cambiar las convenciones. El tema al que me refiero está en la sección 10.4. Recomiendo encarecidamente el libro, es muy bueno.

¿Cuál es la transformación general de un campo en cualquier representación, abarcada por los generadores?$T^a$de la representación adjunta? Un campo general en la representación se puede escribir en componentes como

$$\psi(x)=\psi^a(x) T^a.$$ Campos de componentes$\psi^a$tienen por definición la siguiente derivada: $$(D_\mu\psi)^a(x)=\partial_\mu\psi^a(x)-\mathrm i g (A_\mu^c(x)T^c)^{ab}\psi^b(x).$$ El término de la derecha es básicamente una multiplicación de la matriz de conexión$A_\mu^c(x)T^c$. Estoy aquí usando el hecho de que la representación adjunta tiene la misma dimensión que la dimensión del álgebra de Lie. Mantendré todos los índices excepto el índice de espacio-tiempo.$\mu$.

Ahora, contrate lo que obtuvo con los generadores y dejemos fuera todos los índices: obtiene

$$(D_\mu\psi)^a(T^a)^{bc}=(\partial_\mu \psi^a)(T^a)^{bc}-\mathrm i g A_\mu^d(T^d)^{ae}(T^a)^{bc}\psi^e.$$ Ahora, usamos el hecho de que los generadores son las constantes de estructura,$(T^a)^{bc}=-\mathrm i f^{abc}$. Puedes reescribir el producto de$T$es como $$(T^d)^{ae}(T^a)^{bc}=-f^{dae}f^{abc}=f^{dac}f^{eba}-f^{eac}f^{dba}=(T^e)^{ac}(T^d)^{ba}-(T^d)^{ac}(T^e)^{ba}=[T^d,T^e]^{cb}.$$ Aquí he usado la antisimetría y la identidad de Jacobi en las constantes de estructura. ¡Por favor revisa mis señales!

Volvamos a nuestra expansión.

$$(D_\mu\psi)^a(T^a)^{bc}=\partial_\mu\psi^a(T^a)^{bc}-\mathrm i g A_\mu^d[T^d,T^e]^{bc}\psi^e.$$ En representación matricial, obtenemos $$D_\mu\psi=\partial_\mu\psi-\mathrm i g[A_\mu,\psi].$$ Esta es la generalización de (1) a campos en la representación adjunta. La definición del tensor de intensidad de campo permanece invariable.