¿Cuáles son todas las simetrías de calibre y derivados del lagrangiano QED?

Question

¿Cuáles son todas las simetrías de calibre y derivados del lagrangiano QED?

indicador
Física
teoría de calibre
diferenciación
electromagnetismo
invariancia de calibre

el_fotón

Encuentro que las simetrías de calibre del lagrangiano son un tema que se ofusca bastante. Estoy tratando de entender el panorama general de esto en QED. Mi entendimiento es que:

Gauge deriva su nombre en última instancia de lo que yo llamo la
transformación de calibre clásica del electromagnetismo clásico: $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}' + \nabla f$ .
En QED, el espacio-tiempo equivalente de esto es $A_\mu \rightarrow A_\mu + \frac{1}{g}(\partial_\mu \Lambda)$ .
La simetría básica del espacio-tiempo requiere que tengamos una simetría global, para lo cual tenemos $\phi \rightarrow e^{i \theta} \phi$ .
Otras simetrías del espacio-tiempo requieren que tengamos simetría local, para lo cual tenemos $\phi \rightarrow e^{i \theta (x)} \phi$ .
Tienes que tener una derivada covariante de calibre, por lo tanto tenemos $\partial_\mu \rightarrow \partial_\mu - igA_\mu$ .

Ahora mi pregunta es la siguiente: ¿alguna de las simetrías y derivadas de calibre anteriores (es decir, 2 a 5) es redundante? Por ejemplo, ¿la regla 5 anterior es realmente igual a la regla 2?

Respuestas (1)

¿Cuáles son todas las simetrías de calibre y derivados del lagrangiano QED?

spiridon_the_sun_rotator · Answer 1

El 2) es la forma invariante de Lorentz de escribir el 1).

El 5) es una forma en la que uno tiene que modificar la derivada para hacer que la teoría sea invariante. Para el caso simple de un campo escalar complejo $\phi$ con $U(1)$ simetría de calibre, el lagrangiano se ve de la siguiente manera:

L = \partial_{m} ϕ^{*} \partial^{m} ϕ + \dots

$\mathcal{L} = \partial_\mu \phi^{*} \partial^{\mu} \phi + \ldots$ Aplicar una transformación infinitesimal dependiente de la posición

ϕ \to e^{i θ} ϕ

$\phi \rightarrow e^{i \theta}\phi$ , se obtiene en el orden más bajo:

d L = i \partial_{m} θ (ϕ^{*} \partial^{m} ϕ - ϕ \partial^{m} ϕ^{*})

$\delta \mathcal{L} = i \partial_\mu \theta (\phi^{*} \partial^{\mu} \phi - \phi \partial^{\mu} \phi^{*})$ Entonces, para cancelar este cambio en el Lagrangiano, se necesita promover

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ a

\partial_{μ} + i A_{μ}

$\partial_\mu + i A_\mu$ , con las propiedades de transformación antes mencionadas:

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} θ

$A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \theta$ . De modo que la transformación simultánea de ambos campos dejaría invariante el lagranigiano.

Acerca de 3) y 4): se debe distinguir entre simetría global y de calibre, porque tienen un significado diferente. La simetría global - es un conjunto de transformaciones, que deja invariable nuestra teoría, y la simetría de calibre, como se suele decir, no es realmente una simetría, sino una redudancia en la descripción de la teoría.

¿Cuáles son todas las simetrías de calibre y derivados del lagrangiano QED?

el_fotón

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spiridon_the_sun_rotator

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